Considere a função f: R R definida por
f(x)=cl x^2-4x^2+4 & se x <= 1 x^2+4x^2-4 & se x>1 e x neq 2 5 & se x=2
O gráfico de f admite assíntota(s) horizontal(is)? Justifique!

Passo 1

O enunciado define uma função f:RtoR por partes e pergunta se o gráfico de f tem assíntota horizontal. Assíntota horizontal é uma reta y=L tal que
limxto+inftyf(x)=Loulimxto-inftyf(x)=L
Logo, vamos calcular esses limites nos dois extremos do domínio.

Passo 2

Para xto+infty usamos a parte que vale quando x>1 (exceto em x=2, mas isso não afeta o limite no infinito):
f(x)=x^2+4,x^2-4,
Dividindo numerador e denominador por x^2 obtemos
f(x)=1+4x^21-4x^2
e, como 4x^2to0 quando xto+infty,
limxto+inftyf(x)=1+01-0=1

Passo 3

Para xto-infty usamos a parte que vale quando x<=1, isto é,
f(x)=x^2-4,x^2+4,
De modo análogo, dividindo por x^2 temos
f(x)=1-4x^21+4x^2
e, como 4x^2to0 quando xto-infty,
limxto-inftyf(x)=1-01+0=1

Passo 4

Como
limxto+inftyf(x)=1 e limxto-inftyf(x)=1,
o gráfico de f admite a assíntota horizontal
y=1

Resposta

O gráfico admite a assíntota horizontal y=1.

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