Nas questões de 1) à 8) deve-se fazer os seguintes procedimentos:
(i) Encontrar intervalos de Crescimento e decrescimento;
(ii) Encontrar concavidade e pontos de inflexão;
(iii) Calcular lim x +infty f(x) e lim x -infty f(x);
(iv) Calcular, caso existam, os limites laterais lim x p^+ f(x) e lim x p^- f(x), onde p notin Df ;
(v) Esboçar o gráfico.
f(x)=x^2+1x

Passo 1

O enunciado pede uma análise completa da função
f(x)=x^2+1x,
que envolve: domínio, monotonia (crescimento/decrescimento), concavidade e pontos de inflexão, limites em +infty e -infty, limites laterais em descontinuidades, e esboço do gráfico.

Passo 2

Determinar monotonia requer a primeira derivada. Calculamos
f'(x)=2x-1x^2
Resolvendo f'(x)=0:
2x-1x^2=0 Longrightarrow 2x^3=1 Longrightarrow x=l(tfrac12r)^1/3=2^-1/3
Analisando o sinal de f':
  • Para x<0, 2x<0 e -1/x^2<0, logo f'(x)<0.
  • Para 0<x<2^-1/3, 2x>0 mas -1/x^2 domina negativamente, então f'<0.
  • Para x>2^-1/3, 2x>0 domina e -1/x^2 é pequeno, então f'>0.
Portanto:
decrescente em (-infty,0) e (0,2^-1/3), crescente em (2^-1/3,+infty)

Passo 3

Para concavidade usamos a segunda derivada:
f''(x)=2+2x^3
Igualando a zero:
2+2x^3=0 Longrightarrow x^3=-1 Longrightarrow x=-1
Analisando o sinal de f'':
  • Em (- infty,-1): x^3< -1; Rightarrow;2+2/x^3>0; Rightarrow concavidade para cima.
  • Em (-1,0): x^3in(-1,0); Rightarrow;2+2/x^3<0; Rightarrow concavidade para baixo.
  • Em (0,+infty): x^3>0; Rightarrow;2+2/x^3>0; Rightarrow concavidade para cima.
Logo há ponto de inflexão em x=-1.

Passo 4

Calcular limites no infinito:
limxto+inftyf(x) =limxto+inftyl(x^2+tfrac1xr)=+infty,
limxto-inftyf(x) =limxto-inftyl(x^2+tfrac1xr)=+infty

Passo 5

O único ponto fora do domínio é x=0. Os limites laterais são
limxto0^+f(x) =limxto0^+l(x^2+tfrac1xr)=+infty,
limxto0^-f(x) =limxto0^-l(x^2+tfrac1xr)=-infty

Passo 6

Para esboçar o gráfico notamos:
  • Há assíntota vertical em x=0.
  • Há mínimo local em x=2^-1/3; o valor é
fl(2^-1/3r) =2^-2/3+2^1/3 =32,2^1/3
  • Para xtopminfty, f(x)to+infty.
  • Concavidade: cima em (-infty,-1)cup(0,+infty), baixo em (-1,0).
  • Ponto de inflexão em x=-1.
Assim, o gráfico desce de +infty até cruzar o ponto de inflexão em (-1,f(-1)=-1+(-1)^-1=-1-1=-2), continua decrescendo até -infty em 0^-, sai de +infty em 0^+, decresce até o mínimo em l(2^-1/3,3cdot2^1/3/2r) e cresce para +infty.

Resposta

(i) Monotonia
decrescente em (-infty,0) e em (0,2^-1/3);
crescente em (2^-1/3,+infty).
(ii) Concavidade
para cima em (-infty,-1) e em (0,+infty);
para baixo em (-1,0).
Ponto de inflexão em x=-1.
(iii) Limites no infinito
limxto+inftyf(x)=+infty,
limxto-inftyf(x)=+infty.
(iv) Limites laterais em x=0 limxto0^+f(x)=+infty,
limxto0^-f(x)=-infty.
(v) Gráfico conforme descrição no Passo 6.

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