Nas questões de 1) à 8) deve-se fazer os seguintes procedimentos:
(i) Encontrar intervalos de Crescimento e decrescimento;
(ii) Encontrar concavidade e pontos de inflexão;
(iii) Calcular
;
(iv) Calcular, caso existam, os limites laterais
, onde
;
(v) Esboçar o gráfico.
(i) Encontrar intervalos de Crescimento e decrescimento;
(ii) Encontrar concavidade e pontos de inflexão;
(iii) Calcular
(iv) Calcular, caso existam, os limites laterais
(v) Esboçar o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede uma análise completa da função
que envolve: domínio, monotonia (crescimento/decrescimento), concavidade e pontos de inflexão, limites em
e
, limites laterais em descontinuidades, e esboço do gráfico.
Passo 2
Determinar monotonia requer a primeira derivada. Calculamos
Resolvendo
:
Analisando o sinal de
:
- Para
, e , logo . - Para
, mas domina negativamente, então . - Para
, domina e é pequeno, então .
Portanto:
Passo 3
Para concavidade usamos a segunda derivada:
Igualando a zero:
Analisando o sinal de
:
- Em
: ; ; concavidade para cima. - Em
: ; ; concavidade para baixo. - Em
: ; ; concavidade para cima.
Logo há ponto de inflexão em
.
Passo 4
Calcular limites no infinito:
Passo 5
O único ponto fora do domínio é
. Os limites laterais são
Passo 6
Para esboçar o gráfico notamos:
- Há assíntota vertical em
. - Há mínimo local em
; o valor é
- Para
, . - Concavidade: cima em
, baixo em . - Ponto de inflexão em
.
Assim, o gráfico desce de
até cruzar o ponto de inflexão em
, continua decrescendo até
em
, sai de
em
, decresce até o mínimo em
e cresce para
.
Resposta
(i) Monotonia
decrescente em e em
;
crescente em .
decrescente em
crescente em
(ii) Concavidade
para cima em e em
;
para baixo em .
Ponto de inflexão em .
para cima em
para baixo em
Ponto de inflexão em
(iii) Limites no infinito
,
.
(iv) Limites laterais em
,
.
(v) Gráfico conforme descrição no Passo
.