Considere a função definida por f(x)=x-4 raizx, x >= 0.
Determine os pontos críticos de f, dizendo se estes pontos críticos são máximos ou mínimos locais.

Passo 1

A função é f(x)=x−4√x, definida para x≥0. O conteúdo aqui é derivada de funções básicas (x e √x) para achar pontos críticos (onde f′(x)=0 ou f′ não existe) e depois classificar esses pontos via teste da derivada.

Passo 2

Para calcular a derivada f′(x), derivamos termo a termo. A derivada de x é 1 e a de √x é 1/(2√x). Assim,
f'(x)=ddx[x]-4ddx[raizx]=1-4cdot12raizx=1-2raizx

Passo 3

Observamos que f′(x)=0 quando
1-2raizx=0Rightarrow2raizx=1Rightarrowraizx=2Rightarrow x=4

Passo 4

Além disso, f′(x) é indefinida em x=0, mas x=0 faz parte do domínio, então também é ponto crítico (ponto de fronteira).

Passo 5

Para classificar x=4, analisamos o sinal de f′(x): se x<4 (por ex. x=1), √x=1 ⇒ f′(1)=1−2/1=−1<0; se x>4 (por ex. x=9), √x=3 ⇒ f′(9)=1−2/3>0. Há troca de sinal de negativo para positivo, logo x=4 é mínimo local.

Passo 6

Para classificar x=0 (ponto de fronteira), basta ver que para x>0 pequeno, √x é pequeno ⇒ f′(x)=1−2/√x é muito negativo, então f decresce ao sair de 0. Isso faz de x=0 um máximo local na fronteira do domínio.

Resposta

Os pontos críticos são x=0 (máximo local) e x=4 (mínimo local).

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