Sejam p e a constantes positivas e (barx, bary) o centroide da região delimitada pela parábola
y=x^24 p
e pela reta y=a. Mostre que bary não depende de p e calcule bary.

Passo 1

A região R é limitada pela parábola y= x^24p e pela reta y= a. Como a curva é simétrica em torno do eixo y, temos bar x=0 e focamos em bar y. Usamos a fórmula
bar y=1Aintegral duplaRy,dA
portanto precisamos calcular a área A de R e o momento My=integral duplaR y,dA.

Passo 2

O valor de A é dado por
[
A=\int_{-2\sqrt{ap}}{2\sqrt{ap}}\Bigl(a-\frac{x2}{4p}\Bigr)dx
=2\int_{0}{2\sqrt{ap}}\Bigl(a-\frac{x2}{4p}\Bigr)dx
=\frac{8}{3}a{3/2}p{1/2}.

Passo 3

O momento estático My é
[
M_y=\int_{-2\sqrt{ap}}{2\sqrt{ap}}\Bigl[\int_{x2/(4p)}^{a}y,dy\Bigr]dx
=\int_{-2\sqrt{ap}}{2\sqrt{ap}}\tfrac12\Bigl(a2-\frac{x4}{16p2}\Bigr)dx
=\frac{8}{5}a{5/2}p{1/2}.

Passo 4

Finalmente,
bar y=MyA=85a^5/2p^1/283a^3/2p^1/2=35a
Logo bar y independe de p e vale tfrac35a.

Resposta

bar y=tfrac35a

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