Sejam
e
constantes positivas e
o centroide da região delimitada pela parábola
e pela reta
. Mostre que
não depende de
e calcule
.
Passo 1
A região R é limitada pela parábola y=
e pela reta y=
. Como a curva é simétrica em torno do eixo y, temos
e focamos em
. Usamos a fórmula
portanto precisamos calcular a área A de R e o momento
.
Passo 2
O valor de A é dado por
[
A=\int_{-2\sqrt{ap}}{2\sqrt{ap}}\Bigl(a-\frac{x2}{4p}\Bigr)dx
=2\int_{0}{2\sqrt{ap}}\Bigl(a-\frac{x2}{4p}\Bigr)dx
=\frac{8}{3}a{3/2}p{1/2}.
A=\int_{-2\sqrt{ap}}{2\sqrt{ap}}\Bigl(a-\frac{x2}{4p}\Bigr)dx
=2\int_{0}{2\sqrt{ap}}\Bigl(a-\frac{x2}{4p}\Bigr)dx
=\frac{8}{3}a{3/2}p{1/2}.
Passo 3
O momento estático
é
[
M_y=\int_{-2\sqrt{ap}}{2\sqrt{ap}}\Bigl[\int_{x2/(4p)}^{a}y,dy\Bigr]dx
=\int_{-2\sqrt{ap}}{2\sqrt{ap}}\tfrac12\Bigl(a2-\frac{x4}{16p2}\Bigr)dx
=\frac{8}{5}a{5/2}p{1/2}.
M_y=\int_{-2\sqrt{ap}}{2\sqrt{ap}}\Bigl[\int_{x2/(4p)}^{a}y,dy\Bigr]dx
=\int_{-2\sqrt{ap}}{2\sqrt{ap}}\tfrac12\Bigl(a2-\frac{x4}{16p2}\Bigr)dx
=\frac{8}{5}a{5/2}p{1/2}.
Passo 4
Finalmente,
Logo
independe de
e vale
.