Considere a função f(x, y)=3 x^{1 / 3} y^{2 / 3} definida para x \geq 0 e y \geq 0.
(a) Determine o vetor \nabla f(x, y) (ou seja, vetor gradiente).
(b) Determine a matriz hessiana de f em (x, y) (ou seja, a matriz quadrada com as derivadas de segunda ordem).
(c) Esboce as curvas de nível de f.
(d) Determine uma equação para o plano tangente ao gráfico de f no ponto (8,1, f(8,1)).
(e) Seja \mathcal{C} a curva de nível de f dada por f(x, y)=6. Determine um vetor tangente à curva \mathcal{C} no ponto (8,1).
(f) Sejam u(t)=(x(t), y(t)) uma função derivável e a função composta g(t)=f(u(t)). Suponha que u(7)=(8,1) e u^{\prime}(7)=(-4,5). Calcule g^{\prime}(7).
(g) Determine a taxa de variação de f em (8,1) na direção do vetor \vec{v}=(-4,5) (ou seja, a derivada direcional de f em (8,1) com relação ao vetor \vec{u}=\vec{v} /\|\vec{v}\| ).
(h) Considere o triângulo T=\{(x, y) \mid x \geq 0, y \geq 0 e 2 x+y \leq 10\}. Determine o ponto de T em que a função f assume valor máximo.
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y)=3x^{1/3}y^{2/3} definida para x\ge 0 e y\ge 0 e pede as seguintes coisas:
(a) o vetor gradiente \nabla f(x,y);
(b) a matriz hessiana de f em (x,y);
(c) esboço/descrição das curvas de nível de f;
(d) equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (8,1,f(8,1));
(e) um vetor tangente à curva de nível \mathcal{C} dada por f(x,y)=6 no ponto (8,1);
(f) dado u(t)=(x(t),y(t)) com u(7)=(8,1) e u'(7)=(-4,5), calcular g'(7) onde g(t)=f(u(t));
(g) derivada direcional de f em (8,1) na direção do vetor \vec v=(-4,5) (usar \vec u=\vec v/\|\vec v\|);
(h) sobre o triângulo T=\{(x,y)\mid x\ge0,\\ y\ge0,\\\ 2x+y\le10\}, determinar o ponto de T onde f atinge o valor máximo.
Informações relevantes dadas: domínio x,y\ge0; ponto de interesse (8,1) aparece várias vezes; função envolve potências fracionárias x^{1/3} e y^{2/3}.
Passo 2
Vamos calcular derivadas parciais. Lembrete rápido e útil: a regra do poder (power rule) para derivar x^{m} é \dfrac{d}{dx}x^{m}=m x^{m-1}. Isso vale também para expoentes fracionários quando x>0. Aplicamos a derivada parcial em relação a x, tratando y como constante:
Observação didática: o gradiente aponta na direção de maior crescimento de f e suas componentes são as inclinações (derivadas) nas direções x e y.]
Passo 5
Agora a matriz hessiana: é a matriz das derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro calculamos \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}. Diferenciando \dfrac{\partial f}{\partial x}=x^{-2/3}y^{2/3} em relação a x:
Explicando: derivei x^{-2/3} usando m=-\tfrac{2}{3}, então m-1=-\tfrac{5}{3} e o coeficiente é -\tfrac{2}{3}.
Passo 6
Agora as derivadas mistas e \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}.
Derivada mista \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}: derivando \dfrac{\partial f}{\partial x}=x^{-2/3}y^{2/3} em relação a y,
ou seja curvas decrescentes no primeiro quadrante, com y\to\infty quando x\to0^+ e y\to0 quando x\to\infty. Para k=0 a curva é os eixos x=0 ou y=0. Visualmente: famílias de hipérbolas do tipo y\propto x^{-1/2}.
Passo 8
Calculamos f(8,1) e o gradiente em (8,1). Primeiro
Plano tangente: fórmula padrão do plano tangente ao gráfico z=f(x,y) no ponto (a,b,f(a,b)) é
z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b).
Tomando (a,b)=(8,1) e usando os valores calculados,
z=6+\frac{1}{4}(x-8)+4(y-1).
Podemos desenvolver se quiser:
z=6+\frac{1}{4}x-2+4y-4=\frac{1}{4}x+4y.
Verificação rápida: 6-2-4=0, então o plano simplifica para z=\tfrac{1}{4}x+4y. Esse é o plano tangente pedido.
Passo 10
Vetor tangente à curva de nível \mathcal{C}:\\ f(x,y)=6 em (8,1). Lembrete: o gradiente em um ponto é normal à curva de nível nesse ponto. Assim um vetor tangente \vec t=(t_1,t_2) satisfaz
Uma escolha simples que resolve isso é t_1=-16,\\ t_2=1. Logo um vetor tangente é \displaystyle \vec t=(-16,1) (qualquer múltiplo não-nulo também serve).
Passo 11
Cadeia/derivada de composição: se g(t)=f(u(t)) com u(t)=(x(t),y(t)), então a regra da cadeia nos diz
g'(t)=\nabla f(u(t))\cdot u'(t).
No instante t=7 temos u(7)=(8,1), u'(7)=(-4,5) e \nabla f(8,1)=(\tfrac{1}{4},4). Portanto
Derivada direcional de f em (8,1) na direção do vetor \vec v=(-4,5): definimos o vetor unidade \vec u=\dfrac{\vec v}{\|\vec v\|} com \|\vec v\|=\sqrt{(-4)^2+5^2}=\sqrt{41}. A derivada direcional é
Já calculamos \nabla f(8,1)\cdot\vec v=g'(7)=19. Assim
D_{\vec u}f(8,1)=\frac{19}{\sqrt{41}}.
Passo 13
Máximo de f sobre o triângulo T. Estratégia: região T é compacta, f contínua, logo máximo existe e ocorre ou em pontos críticos interiores ou na fronteira. Primeiro, interior: para x>0,y>0 temos \nabla f(x,y) com componentes positivas (não nulas), então não há ponto interior com \nabla f=0. Logo o máximo está na fronteira de T.
A fronteira tem três partes:
aresta x=0 com 0\le y\le10: f=0;
aresta y=0 com 0\le x\le5: f=0;
aresta inclinada 2x+y=10 com x\in[0,5]. Aqui y=10-2x e
f(x,10-2x)=3x^{1/3}(10-2x)^{2/3}.
Para maximizar, é prático maximizar h(x)=x^{1/3}(10-2x)^{2/3}. Tomamos logaritmo para simplificar:
Checagem das extremidades x=0 e x=5 dá f=0, então o ponto interior da aresta é realmente o máximo. Conclusão: o máximo de f em T ocorre em \left(\dfrac{5}{3},\dfrac{20}{3}\right) (valor máximo f_{\max}=2000^{1/3}).
(b) \displaystyle H_f(x,y)=\begin{pmatrix}-\dfrac{2}{3}x^{-5/3}y^{2/3} & \dfrac{2}{3}x^{-2/3}y^{-1/3}\\[8pt]\dfrac{2}{3}x^{-2/3}y^{-1/3} & -\dfrac{2}{3}x^{1/3}y^{-4/3}\end{pmatrix}.
(c) Curvas de nível: \;x\,y^{2}=\left(\dfrac{k}{3}\right)^{3}\; para a constante k; equivalently y=\sqrt{C/x} com C=\left(\dfrac{k}{3}\right)^{3}, formas decrescentes tipo y\propto x^{-1/2} no primeiro quadrante.
(d) Plano tangente em (8,1,6): \;z=6+\dfrac{1}{4}(x-8)+4(y-1)\; que simplifica para \;z=\dfrac{1}{4}x+4y.
(e) Um vetor tangente à curva f(x,y)=6 em (8,1) é \displaystyle \vec t=(-16,1).
(f) g'(7)=19.
(g) Derivada direcional em (8,1) na direção de \vec v=(-4,5): \displaystyle D_{\vec u}f(8,1)=\frac{19}{\sqrt{41}}.
(h) Ponto de T onde f é máximo: \displaystyle \left(\frac{5}{3},\frac{20}{3}\right) (valor máximo \displaystyle f_{\max}=2000^{1/3}).]