Uma caixa, sem tampa, de 490 \mathrm{~m}^{3} em forma de paralelepípedo deve ser construído com dois tipos de materiais diferentes. O custo do material da base é de 7 reais por metro quadrado. O custo do material utilizado nas paredes laterais é de 3 reais por metro quadrado.
(Não é necessário responder com aproximação decimal.)
(a) Determine as dimensões do caixa mais barata.
(b) Determine o custo da caixa mais barata.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) determinar as dimensões da caixa sem tampa que minimizam o custo;
(b) determinar o custo mínimo dessa caixa.
Informações dadas (relevantes):
  • A caixa é um paralelepípedo sem tampa com dimensões positivas que chamaremos de base x (comprimento), y (largura) e altura h (tudo em metros).
  • O volume é \;490\\ \mathrm{m}^3.
  • Custo do material da base: \;7 reais por \mathrm{m}^2.
  • Custo do material das paredes laterais: \;3 reais por \mathrm{m}^2.
  • Não há tampa.
Agora que está claro o que se pede e quais dados temos, vamos formular o problema matematicamente e resolver passo a passo.

Passo 2

Definimos as variáveis e a restrição de volume:
  • x>0 = comprimento da base (m).
  • y>0 = largura da base (m).
  • h>0 = altura (m).
    A restrição de volume é
xyz = 490.
Isto significa que qualquer tripla (x,y,h) admissível deve satisfazer essa igualdade.

Passo 3

Agora vamos escrever o custo total em função de x,y,h.
  • Área da base: \;xy. Como custa 7 reais por \mathrm{m}^2, o custo da base é
\text{custo da base} = 7xy.
  • Áreas das paredes laterais: duas paredes têm área xh cada e duas têm área yh cada, logo a área lateral total é \;2xh+2yh = 2h(x+y). Como o custo é 3 reais por \mathrm{m}^2, o custo das paredes é
\text{custo das paredes} = 3\cdot 2h(x+y) = 6h(x+y).
Somando, o custo total é
C(x,y,h) = 7xy + 6h(x+y).
Explico: a primeira parcela é o custo da base, a segunda é o custo das quatro paredes.

Passo 4

Usamos a restrição de volume para eliminar h. Da restrição xyz=490 temos
h=\frac{490}{xy}.
Substituímos em C:
C(x,y) = 7xy + 6\cdot\frac{490}{xy}\,(x+y).
Fazendo a multiplicação e simplificação:
C(x,y) = 7xy + 2940\cdot\frac{x+y}{xy}.
Escrevendo de forma mais conveniente:
C(x,y) = 7xy + 2940\Big(\frac{1}{y} + \frac{1}{x}\Big).
Agora temos o custo como função de duas variáveis positivas x,y. O problema virou minimizar C(x,y) para x>0,y>0.

Passo 5

Estratégia de minimização: usamos cálculo de várias variáveis — derivadas parciais e condições de primeiro e segundo ordem. (Uma observação intuitiva: pela forma simétrica é razoável esperar que o retângulo da base seja quadrado, isto é x=y; faremos o cálculo completo para confirmar rigorosamente.)

Passo 6

Calculamos as derivadas parciais de C.
Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial C}{\partial x} = 7y + 2940\cdot\frac{d}{dx}\Big(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\Big) = 7y + 2940\Big(0 - \frac{1}{x^2}\Big) = 7y - \frac{2940}{x^2}.
Para um extremo crítico, igualamos a zero:
7y - \frac{2940}{x^2} = 0 \quad\Rightarrow\quad 7y = \frac{2940}{x^2} \quad\Rightarrow\quad y = \frac{2940}{7}\cdot\frac{1}{x^2} = \frac{420}{x^2}.

Passo 7

Agora a derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial C}{\partial y} = 7x - \frac{2940}{y^2}.
Igualando a zero:
7x - \frac{2940}{y^2} = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{2940}{7}\cdot\frac{1}{y^2} = \frac{420}{y^2}.

Passo 8

Temos agora o sistema
y = \frac{420}{x^2},\qquad x = \frac{420}{y^2}.
Substituímos a primeira na segunda: x = \dfrac{420}{\big(\dfrac{420}{x^2}\big)^2}.
Calculando:
x = \frac{420}{\dfrac{420^2}{x^4}} = 420\cdot\frac{x^4}{420^2} = \frac{x^4}{420}.
Multiplicando ambos os lados por 420 (e lembrando que x>0):
420x = x^4 \quad\Rightarrow\quad x^4 - 420x = 0 \quad\Rightarrow\quad x(x^3 - 420)=0.
Como x>0, temos x^3 = 420, portanto
x = \sqrt[3]{420}.
Pela simetria e pelas equações, obtemos também
y = \sqrt[3]{420}.
Isto confirma que a base é quadrada.

Passo 9

Agora achamos h usando o volume. Como xy = x^2,
h = \frac{490}{xy} = \frac{490}{x^2}.
Usamos x^3 = 420 para simplificar h. Como x^2 = \dfrac{420}{x}, temos
h = \frac{490}{x^2} = \frac{490}{\dfrac{420}{x}} = \frac{490}{420}\,x = \frac{49}{42}\,x = \frac{7}{6}\,x.
Portanto, substituindo x=\sqrt[3]{420},
h = \frac{7}{6}\,\sqrt[3]{420}.
Resumo das dimensões ótimas (exatas):
x = y = \sqrt[3]{420},\qquad h = \frac{7}{6}\,\sqrt[3]{420}.

Passo 10

Precisamos verificar que esse ponto crítico é de fato um mínimo. Calculamos as segundas derivadas:
\frac{\partial^2 C}{\partial x^2} = \frac{5880}{x^3},\qquad \frac{\partial^2 C}{\partial y^2} = \frac{5880}{y^3},\qquad \frac{\partial^2 C}{\partial x\partial y} = 7.
No ponto crítico x=y=\sqrt[3]{420} temos x^3=420, então
\frac{\partial^2 C}{\partial x^2} = \frac{5880}{420} = 14,\qquad \frac{\partial^2 C}{\partial y^2} = 14,\qquad \frac{\partial^2 C}{\partial x\partial y}=7.
Determinante do Hessiano:
D = \frac{\partial^2 C}{\partial x^2}\cdot\frac{\partial^2 C}{\partial y^2} - \Big(\frac{\partial^2 C}{\partial x\partial y}\Big)^2 = 14\cdot 14 - 7^2 = 196 - 49 = 147 > 0,
e \frac{\partial^2 C}{\partial x^2}=14>0. Logo o Hessiano é definido positivo no ponto crítico e temos mínimo local. Como o problema de custo com restrição e variáveis positivas tem comportamento que afasta custos infinitamente grandes nas bordas, esse mínimo local é o mínimo global desejado.

Passo 11

Calculamos o custo mínimo C_{\min}. Usamos a forma reduzida e x=y=a:=\sqrt[3]{420}:
C_{\min} = 7a^2 + 2940\Big(\frac{1}{a} + \frac{1}{a}\Big) = 7a^2 + \frac{5880}{a}.
Usamos a^3 = 420 para simplificar: a^2 = \dfrac{420}{a}. Assim
7a^2 = 7\cdot\frac{420}{a} = \frac{2940}{a}.
Logo
C_{\min} = \frac{2940}{a} + \frac{5880}{a} = \frac{8820}{a}.
Observando que 8820 = 21\cdot 420 e 420/a = a^2, podemos re-escrever
C_{\min} = 21\,a^2 = 21\,\sqrt[3]{420^2}.
Portanto o custo mínimo, em reais, em forma exata é
C_{\min} = 21\,\sqrt[3]{420^2}.

Resposta

(a) x = y = \sqrt[3]{420} m, \;h = \dfrac{7}{6}\,\sqrt[3]{420} m
(b) C_{\min} = 21\,\sqrt[3]{420^2} reais

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