Uma caixa, sem tampa, de
em forma de paralelepípedo deve ser construído com dois tipos de materiais diferentes. O custo do material da base é de 7 reais por metro quadrado. O custo do material utilizado nas paredes laterais é de 3 reais por metro quadrado.
(Não é necessário responder com aproximação decimal.)
(a) Determine as dimensões do caixa mais barata.
(b) Determine o custo da caixa mais barata.
(Não é necessário responder com aproximação decimal.)
(a) Determine as dimensões do caixa mais barata.
(b) Determine o custo da caixa mais barata.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) determinar as dimensões da caixa sem tampa que minimizam o custo;
(b) determinar o custo mínimo dessa caixa.
(a) determinar as dimensões da caixa sem tampa que minimizam o custo;
(b) determinar o custo mínimo dessa caixa.
Informações dadas (relevantes):
- A caixa é um paralelepípedo sem tampa com dimensões positivas que chamaremos de base
(comprimento), (largura) e altura (tudo em metros). - O volume é
. - Custo do material da base:
reais por . - Custo do material das paredes laterais:
reais por . - Não há tampa.
Agora que está claro o que se pede e quais dados temos, vamos formular o problema matematicamente e resolver passo a passo.
Passo 2
Definimos as variáveis e a restrição de volume:
-
= comprimento da base (m). -
= largura da base (m). -
= altura (m).
A restrição de volume é
Isto significa que qualquer tripla
admissível deve satisfazer essa igualdade.
Passo 3
Agora vamos escrever o custo total em função de
.
- Área da base:
. Como custa reais por , o custo da base é
- Áreas das paredes laterais: duas paredes têm área
cada e duas têm área cada, logo a área lateral total é . Como o custo é reais por , o custo das paredes é
Somando, o custo total é
Explico: a primeira parcela é o custo da base, a segunda é o custo das quatro paredes.
Passo 4
Usamos a restrição de volume para eliminar
. Da restrição
temos
Substituímos em
:
Fazendo a multiplicação e simplificação:
Escrevendo de forma mais conveniente:
Agora temos o custo como função de duas variáveis positivas
. O problema virou minimizar
para
.
Passo 5
Estratégia de minimização: usamos cálculo de várias variáveis — derivadas parciais e condições de primeiro e segundo ordem. (Uma observação intuitiva: pela forma simétrica é razoável esperar que o retângulo da base seja quadrado, isto é
; faremos o cálculo completo para confirmar rigorosamente.)
Passo 6
Calculamos as derivadas parciais de
.
Derivada parcial em relação a
:
Para um extremo crítico, igualamos a zero:
Passo 7
Agora a derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Passo 8
Temos agora o sistema
Substituímos a primeira na segunda:
.
Calculando:
Calculando:
Multiplicando ambos os lados por
(e lembrando que
):
Como
, temos
, portanto
Pela simetria e pelas equações, obtemos também
Isto confirma que a base é quadrada.
Passo 9
Agora achamos
usando o volume. Como
,
Usamos
para simplificar
. Como
, temos
Portanto, substituindo
,
Resumo das dimensões ótimas (exatas):
Passo 10
Precisamos verificar que esse ponto crítico é de fato um mínimo. Calculamos as segundas derivadas:
No ponto crítico
temos
, então
Determinante do Hessiano:
e
. Logo o Hessiano é definido positivo no ponto crítico e temos mínimo local. Como o problema de custo com restrição e variáveis positivas tem comportamento que afasta custos infinitamente grandes nas bordas, esse mínimo local é o mínimo global desejado.
Passo 11
Calculamos o custo mínimo
. Usamos a forma reduzida e
:
Usamos
para simplificar:
. Assim
Logo
Observando que
e
, podemos re-escrever
Portanto o custo mínimo, em reais, em forma exata é
Resposta
(a)
m,
m
(b)
reais