Considere a função densidade de probabilidade descrita a seguir:
f(x)= \begin{cases}A x, & \text { se } 0 \leq x \leq 4 \\\\ 0, & \text { se } x<0 \text { ou } x>4\end{cases}
Determine o valor da constante A para que a função f(x) seja uma função de densidade de probabilidade.

Passo 1

O enunciado define
f(x)= \begin{cases} A\,x,&\text{se }0\le x\le4,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}á
e pede o valor de A para que f seja uma função densidade de probabilidade. O conteúdo utilizado é a condição de normalização de uma densidade contínua.

Passo 2

Para ser densidade de probabilidade, deve valer
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx = 1.
Como f(x)=0 fora de [0,4], isso equivale a
\int_{0}^{4}A\,x\,dx = 1.

Passo 3

Calcule a integral:
\int_{0}^{4}A\,x\,dx = A\int_{0}^{4}x\,dx = A\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4} = A\cdot\frac{4^{2}}{2} = 8A.

Passo 4

Impondo a condição de normalização 8A=1, obtemos
A = \frac{1}{8}.

Resposta

A = \frac{1}{8}

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