Considere a função
.
Determine a linearização e a aproximação linear de
no ponto
.
Use a aproximação linear encontrada para determinar uma aproximação para
.
Determine a linearização e a aproximação linear de
Use a aproximação linear encontrada para determinar uma aproximação para
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa encontrar a linearização dela no ponto
. Em outras palavras, vamos aproximar essa função por uma reta (no caso, um plano) perto desse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais, que nos ajudam a achar a melhor aproximação linear da função em torno de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é linearização. Basicamente, é uma maneira de aproximar uma função suave por uma função linear (uma reta, ou no caso de duas variáveis, um plano) perto de um ponto específico. A fórmula geral da linearização de uma função
no ponto
é:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente, avaliadas no ponto
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função
no ponto
. Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto
:
Passo 4
Com esses valores, podemos montar a linearização
:
Sabemos que
. Substituindo:
Então, a linearização da função no ponto
é simplesmente a constante 2.
Resposta
Usando a linearização encontrada, a aproximação de
é:
Ou seja,
.