Considere a função f(x, y)=2+x^2+y^2.
Determine a linearização e a aproximação linear de f no ponto (0,0).
Use a aproximação linear encontrada para determinar uma aproximação para f(-0,02 ;-0,01).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x, y) = 2 + x^2 + y^2 e precisa encontrar a linearização dela no ponto (0,0) . Em outras palavras, vamos aproximar essa função por uma reta (no caso, um plano) perto desse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais, que nos ajudam a achar a melhor aproximação linear da função em torno de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é linearização. Basicamente, é uma maneira de aproximar uma função suave por uma função linear (uma reta, ou no caso de duas variáveis, um plano) perto de um ponto específico. A fórmula geral da linearização de uma função f(x, y) no ponto (a, b) é:
L(x, y) = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
Aqui, fx e fy são as derivadas parciais de f em relação a x e y , respectivamente, avaliadas no ponto (a, b) .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função f(x, y) = 2 + x^2 + y^2 no ponto (0,0) . Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais:
  • Derivada parcial em relação a x :
fx(x, y) = partial fpartial x = 2x
  • Derivada parcial em relação a y :
fy(x, y) = partial fpartial y = 2y
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto (0,0) :
fx(0, 0) = 2 times 0 = 0
fy(0, 0) = 2 times 0 = 0

Passo 4

Com esses valores, podemos montar a linearização L(x, y) :
L(x, y) = f(0, 0) + fx(0, 0)(x - 0) + fy(0, 0)(y - 0)
Sabemos que f(0, 0) = 2 + 0^2 + 0^2 = 2 . Substituindo:
L(x, y) = 2 + 0 cdot x + 0 cdot y = 2
Então, a linearização da função no ponto (0,0) é simplesmente a constante 2.

Resposta

Usando a linearização encontrada, a aproximação de f(-0,02; -0,01) é:
f(-0,02; -0,01) approx L(-0,02, -0,01) = 2
Ou seja, f(-0,02; -0,01) approx 2 .

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