Considere a função
.
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o cálculo de derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, precisamos confirmar que o ponto
está realmente no gráfico da função
. Substituindo
e
na função:
Portanto, o ponto
pertence ao gráfico de
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos indicam a inclinação da função nas direções de
e
.
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Em seguida, avaliamos as derivadas parciais no ponto
:
Esses valores representam as inclinações do plano tangente nas direções de
e
no ponto dado.
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos usar a fórmula do plano tangente:
Onde
é o ponto de tangência. No nosso caso,
,
e
.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula do plano tangente:
Isso significa que o plano tangente é uma superfície plana horizontal que intercepta o eixo
no ponto
.
Resposta
A equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
é
.