Considere a função f(x, y)=2+x^2+y^2.
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (0,0,2).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x, y) = 2 + x^2 + y^2 no ponto (0, 0, 2) . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o cálculo de derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos confirmar que o ponto (0, 0, 2) está realmente no gráfico da função f(x, y) . Substituindo x = 0 e y = 0 na função:
f(0, 0) = 2 + (0)^2 + (0)^2 = 2
Portanto, o ponto (0, 0, 2) pertence ao gráfico de f .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y . As derivadas parciais nos indicam a inclinação da função nas direções de x e y .
Derivada parcial em relação a x :
fx(x, y) = partialpartial x (2 + x^2 + y^2) = 2x
Derivada parcial em relação a y :
fy(x, y) = partialpartial y (2 + x^2 + y^2) = 2y

Passo 4

Em seguida, avaliamos as derivadas parciais no ponto (0, 0) :
fx(0, 0) = 2 cdot 0 = 0
fy(0, 0) = 2 cdot 0 = 0
Esses valores representam as inclinações do plano tangente nas direções de x e y no ponto dado.

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos usar a fórmula do plano tangente:
z = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
Onde (a, b, f(a, b)) é o ponto de tangência. No nosso caso, a = 0 , b = 0 e f(a, b) = 2 .

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula do plano tangente:
z = 2 + 0 cdot (x - 0) + 0 cdot (y - 0)
z = 2
Isso significa que o plano tangente é uma superfície plana horizontal que intercepta o eixo z no ponto z = 2 .

Resposta

A equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (0, 0, 2) é z = 2 .

Exercícios relacionados