Considere 
  em função de 
 . Encontre 
  da função a seguir:
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a derivada de 
  em relação a 
 , ou seja, 
 , para a função dada:
Esse tipo de problema envolve derivação implícita, que é usada quando 
  está misturado com 
  de forma que não dá para isolar 
  facilmente. Vamos precisar aplicar as regras de derivação para cada termo da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a 
 . Lembre-se que quando você deriva em relação a 
 , 
  também depende de 
 , então precisamos usar a regra da cadeia para os termos que envolvem 
 .
Vamos derivar cada termo:
- Derivada de 
em relação a é .  - Derivada de 
em relação a usa a regra do produto: - Derivada de 
é , então teremos .  - Mais 
vezes a derivada de , que é .  - Então, a derivada total é 
.  
 - Derivada de 
 - Derivada de 
em relação a usa a regra da cadeia: - Derivada de 
em relação a é .  - Multiplicamos pela derivada de 
em relação a , que é .  - Então, a derivada total é 
.  
 - Derivada de 
 
Passo 3
Agora, vamos colocar todas essas derivadas na equação original diferenciada:
Nosso objetivo é isolar 
 . Para isso, vamos agrupar os termos que contêm 
  e os que não têm.
Reescrevendo a equação:
Passo 4
Agora, vamos fatorar 
  do lado esquerdo:
Para encontrar 
 , basta dividir ambos os lados da equação por 
 :
Resposta
Portanto, a derivada de 
  em relação a 
  é: