Considere a função f(x)=3 x^{3}-3 x^{2}-3 x.
Calcule os pontos críticos da função. Calcule o valor da função nestes valores e escreva as coordenadas dos pontos calculados abaixo, em ordem crescente de seus valores na coordenada x.
Ponto Crítico 1 = \square
\square )
Ponto Crítico 2 = \square \square )

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos de f(x)=3x^3-3x^2-3x, ou seja, onde sua derivada é zero (já que f é polinomial, não há pontos de não diferenciabilidade). Precisamos: 1) calcular f'(x); 2) achar as raízes de f'(x)=0; 3) avaliar f nesses pontos; 4) ordenar pelos valores de x.

Passo 2

Calculemos a derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^3-3x^2-3x\bigr) =9x^2-6x-3.
Para achar os pontos críticos, resolvemos
9x^2-6x-3=0 \quad\Longrightarrow\quad 3x^2-2x-1=0.
Usando a fórmula de Bhaskara,
x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot3\cdot(-1)}}{2\cdot3} =\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{6} =\frac{2\pm4}{6},
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x_1=-\tfrac{1}{3}, \quad x_2=1.

Passo 3

Avaliaremos f em cada um:
Para x=-\tfrac{1}{3},
f\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) =3\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)^3 -3\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)^2 -3\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) =-\tfrac{1}{9}-\tfrac{1}{3}+1 =\tfrac{5}{9}.
Para x=1,
f(1)=3\cdot1^3-3\cdot1^2-3\cdot1=3-3-3=-3.

Passo 4

Ordenando pelos valores de x (menor para maior), temos primeiro -\tfrac{1}{3} e depois 1. Assim, os pontos críticos são:

Resposta

Ponto Crítico 1= \bigl(-\tfrac{1}{3},\,\tfrac{5}{9}\bigr)
Ponto Crítico 2= \bigl(1,\,-3\bigr)

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