Considere a função f(x) dada por:
f(x)=e^{x} \operatorname{sen}(x)
A função possui assíntotas oblíquas? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=e^{x}\operatorname{sen}(x)
e pergunta se a função possui assíntotas oblíquas, pedindo justificativa.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de f(x) para todo x\in\mathbb{R}.
  • A pergunta exige análise do comportamento da função quando x\to+\infty e quando x\to-\infty.

Passo 2

O que é uma assíntota oblíqua e como testá‑la (fórmula que vou usar).
  • Uma reta oblíqua tem a forma y=ax+b com a\neq0. Dizemos que y=ax+b é assíntota de f quando, por exemplo para x\to+\infty,
\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)- (ax+b)\bigr)=0.
  • Para encontrar a e b costuma‑se usar as fórmulas
a=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x},\qquad b=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-a x\bigr),
quando esses limites existirem (cada sinal infinito deve ser tratado separadamente).
Explicando: a é a inclinação da reta tentativa (pendente) e b é o termo constante; se a=0 a reta é horizontal (assíntota horizontal), e se algum desses limites não existe (ou é infinito) não há assíntota oblíqua naquela direção.

Passo 3

Análise quando x\to-\infty.
  • Observação útil (desigualdade): para todo x vale
\bigl|e^{x}\operatorname{sen}(x)\bigr|\le e^{x},
pois |\operatorname{sen}(x)|\le1.
  • Quando x\to-\infty temos e^{x}\to0. Pela desigualdade e pelo Teorema do Confronto (squeeze), segue que
\lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{x\to-\infty} e^{x}\operatorname{sen}(x)=0.
  • Agora calcule o candidato à inclinação:
\left|\frac{f(x)}{x}\right|=\frac{|e^{x}\operatorname{sen}(x)|}{|x|}\le\frac{e^{x}}{|x|}.
Como x\to-\infty temos e^{x}/|x|\to0, portanto
\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=0.
Assim a=0 e
b=\lim_{x\to-\infty}\bigl(f(x)-a x\bigr)=\lim_{x\to-\infty}f(x)=0.
Conclusão desta direção: há uma assíntota (horizontal) y=0 quando x\to-\infty. Não é oblíqua porque a=0.

Passo 4

Análise quando x\to+\infty. Mostrar que não há assíntota oblíqua nem horizontal para +\infty.
  • A função \operatorname{sen}(x) oscila entre -1 e 1. Pode escolher duas sequências crescentes (x_n) e (y_n) com
x_n=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad y_n=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{N}.
Nessas posições temos \operatorname{sen}(x_n)=1 e \operatorname{sen}(y_n)=-1.
  • Avaliando f nessas sequências:
f(x_n)=e^{x_n}\operatorname{sen}(x_n)=e^{x_n}\to+\infty\quad\text{quando }n\to\infty,
f(y_n)=e^{y_n}\operatorname{sen}(y_n)=-e^{y_n}\to-\infty\quad\text{quando }n\to\infty.
Logo f(x) não tende a um único valor finito quando x\to+\infty; na verdade é não limitado e oscila para +\infty e -\infty ao longo de subsequências.
  • Em particular o candidato à inclinação
\frac{f(x)}{x}=\frac{e^{x}\operatorname{sen}(x)}{x}
não tem limite finito quando x\to+\infty: ao longo de x_n essa razão tende a +\infty e ao longo de y_n tende a -\infty. Portanto não existe um a\in\mathbb{R} tal que \lim_{x\to+\infty} f(x)/x=a. Consequentemente não existe reta ax+b que aproxime f(x) como x\to+\infty.
  • Conclusão desta direção: não existe assíntota (nem oblíqua nem horizontal) quando x\to+\infty.

Passo 5

Síntese final e resposta amigável.
  • Para x\to-\infty a função tende a zero e o candidato a=\lim f(x)/x é 0, portanto há uma assíntota horizontal y=0 nessa direção (mas não oblíqua, pois a=0).
  • Para x\to+\infty a função é oscilante e não limitada (existe subsequência que vai a +\infty e outra que vai a -\infty), logo não existe limite de f(x)/x nem de f(x)-ax para nenhum a finito; portanto não há assíntota oblíqua (nem qualquer assíntota horizontal) em +\infty.
Força aí — o resultado principal é simples: não tem assíntotas oblíquas; só aparece a assíntota horizontal y=0 ao ir para -\infty.

Resposta

Não; a função não possui assíntotas oblíquas. (Observação: existe a assíntota horizontal y=0 quando x\to-\infty, e não há assíntota em x\to+\infty.)

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