Considere a função f(x)=\frac{4}{\sqrt{x^{2}+1}}.
(a) Encontre D(f).
(b) Resolva f(x)=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{4}{\sqrt{x^{2}+1}}
e pede:
  1. Encontrar o domínio de f.
  2. Resolver a equação f(x)=1.
    Para isso vamos usar as condições de existência de raiz quadrada e denominador, e depois manipular algebricamente.

Passo 2

Para achar o domínio de f observamos o denominador \sqrt{x^{2}+1}. A raiz quadrada exige x^{2}+1\ge0, o que vale para todo x\in\mathbb{R}. Além disso, não pode haver divisão por zero, mas
x^{2}+1=0
não tem solução real, logo \sqrt{x^{2}+1}>0 para todo x. Portanto
D(f)=\mathbb{R}.

Passo 3

Agora resolvemos
\frac{4}{\sqrt{x^{2}+1}}=1.
Multiplicando ambos os lados por \sqrt{x^{2}+1}, obtemos 4=\sqrt{x^{2}+1}. Elevando ao quadrado, vem
x^{2}+1=16 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=15,
portanto
x=\pm\sqrt{15}.

Resposta

D(f)=\mathbb{R}.
As soluções de f(x)=1 são
x=\sqrt{15} \quad\text{e}\quad x=-\sqrt{15}.

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