Para medir a velocidade do vento a uma altura de 3 m acima da superfície de um solo plano, utiliza-se o anemômetro, sendo a leitura da velocidade, em metros por segundo, a partir do aparelho dada por V=v\left(\frac{3}{h}\right)^{0,16} em que v é a velocidade do vento fornecida pelo anemômetro ( \mathrm{m} / \mathrm{s} ) e, h, a altura das conchas do anemômetro a partir do solo, em metros.
(a) Analise V(v) e V(h) para h e v fixados, respectivamente.
(b) Determine um possível domínio para V.
(c) Esboce seus gráficos simultaneamente para avaliar qual variável tem maior influência sobre V.

Passo 1

O enunciado dá a fórmula
V = v\Bigl(\tfrac{3}{h}\Bigr)^{0,16}
em que v é a velocidade medida pelo anemômetro e h é a altura das conchas. Precisamos:
(a) estudar V(v) com h fixo e V(h) com v fixo;
(b) determinar um domínio possível para V;
(c) esboçar os gráficos de V em função de v e de h para comparar sensibilidades.

Passo 2

Com h fixado, escrevemos
V(v)=v\Bigl(\tfrac{3}{h}\Bigr)^{0,16}.
Isso é uma função afim de v (na verdade linear pura), com coeficiente angular \bigl(3/h\bigr)^{0,16}>0. Logo V(v) cresce proporcionalmente a v.

Passo 3

Com v fixado, temos
V(h)=v\;3^{0,16}\;h^{-0,16}.
É uma função de potência com expoente -0,16, portanto V'(h)<0 (é monotonicamente decrescente) e V''(h)>0 (côncava para cima). À medida que h aumenta, V decresce, mas de forma lenta.

Passo 4

Como v representa velocidade, fizemos v\ge0. E h é altura, logo h>0. Assim o domínio de entrada é
\{(v,h)\mid v\ge0,\;h>0\}.
O valor de saída satisfaz V\ge0; para v>0 cobre todo (0,\infty) e, se v=0, resulta em V=0.

Passo 5

No mesmo sistema de eixos, V(v) é uma reta que parte da origem com inclinação (3/h)^{0,16}, enquanto V(h) é uma curva decrescente suave. Comparando as inclinações e curvaturas, vemos que variações em v geram mudanças lineares diretas em V, enquanto variações em h afetam V muito mais suavemente, mostrando que V é mais sensível a v do que a h.

Resposta

(a) V(v) é crescente e linear em v; V(h) é decrescente (potência de expoente -0,16).
(b) Domínio de entrada \{(v,h)\mid v\ge0,\;h>0\}; imagem de V é [0,\infty).
(c) Gráfico de V(v): reta pela origem. Gráfico de V(h): curva decrescente. Conclui-se que v tem maior influência sobre V do que h.

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