Considere a função
. Julgue as afirmativas abaixo:
(0) O ponto
é ponto de máximo local.
(0) O ponto
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para julgar a afirmativa:
Informações fornecidas:
Pergunta clara: a afirmativa é verdadeira ou falsa? (Ou seja:
é um máximo local?)
Passo 2
Vamos calcular a derivada primeira de
e avaliar em
.
Regra usada: a derivada de
é
. Aplicando termo a termo:
Agora avaliamos em
:
Interpretação (explicando a teoria): quando
temos um ponto crítico ou estacionário em
. Isso só nos diz que a inclinação é zero ali — pode ser máximo, mínimo ou ponto de inflexão. Ainda não sabemos se é máximo.
Passo 3
Usamos a derivada segunda para decidir a natureza do ponto crítico (teste da derivada segunda).
Regra usada: a derivada de
dá
. Se
, o gráfico é côncavo para cima em
e
é mínimo local; se
, é máximo local; se
, o teste é inconclusivo.
Calculemos
:
Avaliando em
:
Como
, o ponto
é um mínimo local, não um máximo.
Explicação intuitiva (mini-aula):
significa que a função está “curvada para cima” em
. Imagine uma tigela — onde a curva está para cima, o ponto com derivada zero fica em baixo (mínimo). Um exemplo simples:
tem
e
, logo
é mínimo.
Passo 4
Para reforçar com exemplo numérico (verificação prática): calcule
em pontos próximos de
, por exemplo
e
.
Cálculo detalhado:
Observação:
e
. Ou seja, valores próximos de
são maiores que
, confirmando que
é menor do que os pontos vizinhos — é mínimo local.
Resposta
Falsa —
é ponto de mínimo local.