Considere a função f(x)=x^{3}-2 x^{2}+x-1. Julgue as afirmativas abaixo:
(0) O ponto x=1 é ponto de máximo local.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3}-2x^{2}+x-1 e pede para julgar a afirmativa:
\text{(0) O ponto } x=1 \text{ é ponto de máximo local.}éá
Informações fornecidas:
\text{função } f(x)=x^{3}-2x^{2}+x-1,\quad \text{ponto a analisar } x=1.çã
Pergunta clara: a afirmativa é verdadeira ou falsa? (Ou seja: x=1 é um máximo local?)

Passo 2

Vamos calcular a derivada primeira de f e avaliar em x=1.
Regra usada: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Aplicando termo a termo:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)-\frac{d}{dx}\big(2x^{2}\big)+\frac{d}{dx}\big(x\big)-\frac{d}{dx}\big(1\big)
f'(x)=3x^{2}-4x+1.
Agora avaliamos em x=1:
f'(1)=3\cdot1^{2}-4\cdot1+1=3-4+1=0.
Interpretação (explicando a teoria): quando f'\text{(c)}=0 temos um ponto crítico ou estacionário em x=c. Isso só nos diz que a inclinação é zero ali — pode ser máximo, mínimo ou ponto de inflexão. Ainda não sabemos se é máximo.

Passo 3

Usamos a derivada segunda para decidir a natureza do ponto crítico (teste da derivada segunda).
Regra usada: a derivada de f'(x) f''(x). Se f''\text{(c)}>0, o gráfico é côncavo para cima em c e c é mínimo local; se f''\text{(c)}<0, é máximo local; se f''\text{(c)}=0, o teste é inconclusivo.
Calculemos f''(x):
f''(x)=\frac{d}{dx}\big(3x^{2}-4x+1\big)=6x-4.
Avaliando em x=1:
f''(1)=6\cdot1-4=2>0.
Como f''(1)>0, o ponto x=1 é um mínimo local, não um máximo.
Explicação intuitiva (mini-aula): f''(1)>0 significa que a função está “curvada para cima” em x=1. Imagine uma tigela — onde a curva está para cima, o ponto com derivada zero fica em baixo (mínimo). Um exemplo simples: g(x)=x^{2} tem g'(0)=0 e g''(0)=2>0, logo 0 é mínimo.

Passo 4

Para reforçar com exemplo numérico (verificação prática): calcule f em pontos próximos de 1, por exemplo x=0{,}9 e x=1{,}1.
Cálculo detalhado:
f(1)=1^{3}-2\cdot1^{2}+1-1=1-2+1-1=-1.
f(0{,}9)=0{,}9^{3}-2\cdot0{,}9^{2}+0{,}9-1=0{,}729-2\cdot0{,}81+0{,}9-1
=0{,}729-1{,}62+0{,}9-1= -0{,}891+0{,}9-1=0{,}009-1=-0{,}991.
f(1{,}1)=1{,}1^{3}-2\cdot1{,}1^{2}+1{,}1-1=1{,}331-2\cdot1{,}21+1{,}1-1
=1{,}331-2{,}42+1{,}1-1=-1{,}089+1{,}1-1=0{,}011-1=-0{,}989.
Observação: f(0{,}9)=-0{,}991>-1=f(1) e f(1{,}1)=-0{,}989>-1=f(1). Ou seja, valores próximos de 1 são maiores que f(1), confirmando que f(1) é menor do que os pontos vizinhos — é mínimo local.

Resposta

Falsa — \,x=1 é ponto de mínimo local.

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