Achar max e min da função f=2 x^{2}-y^{2}+x y no dominio D= \left\{(x, y) \mid x^{2}+2 y^{2}=1\right\}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se achar o máximo e o mínimo da função \;f(x,y)=2x^{2}-y^{2}+xy\; sobre o domínio \;D=\{(x,y)\mid x^{2}+2y^{2}=1\}.
  • Informações relevantes dadas:
    • A função f é uma função polinomial (contínua).
    • O domínio D é a elipse \;x^{2}+2y^{2}=1, que é compacto (fechado e limitado), logo f atinge máximo e mínimo em D.
  • Objetivo claro: encontrar os valores extremo (máximo e mínimo) de f em D e, se possível, os pontos onde esses extremos ocorrem.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática do método de multiplicadores de Lagrange):
  • Quando queremos extremizar uma função f(x,y) sujeita a uma restrição g(x,y)=0 (aqui g(x,y)=x^{2}+2y^{2}-1), um método padrão é o dos multiplicadores de Lagrange.
  • Intuição simples: nos pontos de extremo com restrição, o gradiente de f é paralelo ao gradiente de g. Ou seja, existe \lambda tal que \nabla f = \lambda \nabla g.
  • Isso gera um sistema de equações que, junto com a restrição, determina candidatos a extremos. Como o domínio é compacto, os candidatos encontrados contêm os extremos globais.

Passo 3

Aplicar Lagrange: escrever as equações e as derivadas parciais (aula rápida sobre gradiente e derivadas):
  • Calcule as derivadas parciais de f: \frac{\partial f}{\partial x}=4x+y,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-2y+x.Explicação: derivada de 2x^{2} em relação a x é 4x; de xy em relação a x é y; similar para y.
  • Calcule as derivadas parciais de g(x,y)=x^{2}+2y^{2}-1: \frac{\partial g}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial g}{\partial y}=4y.
  • Escreva o sistema de Lagrange \nabla f=\lambda\nabla g junto com a restrição: 4x+y=2\lambda x,\tag{1}
-2y+x=4\lambda y,\tag{2}
x^{2}+2y^{2}=1.\tag{3}

Passo 4

Resolver o sistema: tratar caso x=0 e caso x\neq0; derivação detalhada das manipulações algébricas.
  • Primeiro, caso x=0. Substituindo em (1) e (3):
    • (1) com x=0 y=0. Mas então (3) daria 0+2\cdot0=1, impossível. Logo x\neq0.
  • Como x\neq0, podemos manipular (1) e (2).
    • Da equação (1) isolamos y em função de x e \lambda: y = x(2\lambda-4).\tag{4}(Passo: tirar 4x para o outro lado e dividir por 1.)
    • Da equação (2) isolamos x em função de y e \lambda: x = y(4\lambda+2).\tag{5}
  • Substituindo (4) em (5): x = x(2\lambda-4)(4\lambda+2). Como x\neq0, podemos cancelar x e obter a equação em \lambda: 1=(2\lambda-4)(4\lambda+2).Desenvolvendo: 1 = 8\lambda^{2}-12\lambda-8
\Rightarrow 8\lambda^{2}-12\lambda-9=0.
  • Resolver essa quadrática (fórmula de Bhaskara): \Delta = (-12)^{2}-4\cdot8\cdot(-9)=144+288=432=144\cdot3.
\sqrt{\Delta}=12\sqrt{3}.
\lambda=\frac{12\pm12\sqrt{3}}{16}=\frac{3(1\pm\sqrt{3})}{4}.
Chamo \lambda_{+}=\dfrac{3(1+\sqrt{3})}{4} e \lambda_{-}=\dfrac{3(1-\sqrt{3})}{4}.

Passo 5

Encontrar as razões y/x (vettor direcional) e os pontos normalizados na elipse; relação entre \lambda e o valor de f (um truque muito útil):
  • Da equação (4) temos a razão k=\dfrac{y}{x}=2\lambda-4. k_{\pm}=2\lambda_{\pm}-4.Substituindo: k_{\pm}=\frac{-5\pm3\sqrt{3}}{2}.Ou seja, k_{+}=\frac{-5+3\sqrt{3}}{2}\approx0,098,\qquad k_{-}=\frac{-5-3\sqrt{3}}{2}\approx-5,098.
  • Para obter as coordenadas em D normalizamos usando a restrição x^{2}+2y^{2}=1. Escrevendo y=kx, a restrição vira x^{2}(1+2k^{2})=1\quad\Rightarrow\quad x=\pm\frac{1}{\sqrt{1+2k^{2}}},\quad y=\pm\frac{k}{\sqrt{1+2k^{2}}}.Sinal \pm conjunto (mesmo sinal em x e y) porque se (x,y) satisfaz a condição, (-x,-y) também.
  • Observação crucial que simplifica muito: multiplicando escalarmente (1) por x e (2) por y e somando, obtemos x(4x+y)+y(-2y+x)=\lambda(2x^{2}+4y^{2}).O lado esquerdo é 2f(x,y) (verifique: 2f=4x^{2}+2xy-2y^{2}), e o lado direito é 2\lambda(x^{2}+2y^{2})=2\lambda\cdot1. Assim: 2f=2\lambda\quad\Rightarrow\quad f=\lambda.Portanto os valores de \lambda que encontramos são exatamente os valores de f nos pontos críticos. Isso evita cálculos extras para f.

Passo 6

Identificar máximo e mínimo com seus pontos (interpretação e valores numéricos para intuição):
  • Temos dois valores críticos para f: \lambda_{+}=\dfrac{3(1+\sqrt{3})}{4} e \lambda_{-}=\dfrac{3(1-\sqrt{3})}{4}.
  • Como \sqrt{3}\approx1,732, \lambda_{+}\approx2,049 e \lambda_{-}\approx-0,549. Portanto:
    • \lambda_{+} é o máximo global de f em D.
    • \lambda_{-} é o mínimo global de f em D.
  • Os pontos onde ocorrem são (usando k_{\pm} e a normalização): (x,y)=\left(\pm\frac{1}{\sqrt{1+2k_{\pm}^{2}}},\;\pm\frac{k_{\pm}}{\sqrt{1+2k_{\pm}^{2}}}\right),com k_{\pm}=\dfrac{-5\pm3\sqrt{3}}{2}. Para intuição numérica:
    • Para o máximo \lambda_{+}: k_{+}\approx0,098 e os pontos aproximados são (\pm0,9905,\pm0,0972).
    • Para o mínimo \lambda_{-}: k_{-}\approx-5,098 e os pontos aproximados são (\pm0,1374,\mp0,7000) (note o sinal de y é o mesmo do sinal indicado na fórmula; o par (+,-) ou (- ,+) corresponde à escolha de sinal).

Resposta

Máximo: \dfrac{3(1+\sqrt{3})}{4}, atingido em \displaystyle\left(\pm\frac{1}{\sqrt{1+2k_{+}^{2}}},\;\pm\frac{k_{+}}{\sqrt{1+2k_{+}^{2}}}\right) com k_{+}=\dfrac{-5+3\sqrt{3}}{2}.\n
Mínimo: \dfrac{3(1-\sqrt{3})}{4}, atingido em \displaystyle\left(\pm\frac{1}{\sqrt{1+2k_{-}^{2}}},\;\pm\frac{k_{-}}{\sqrt{1+2k_{-}^{2}}}\right) com k_{-}=\dfrac{-5-3\sqrt{3}}{2}.

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