Defina g(x)=2x - x^2. Observe o sinal de g(x) em (0,\tfrac{5}{2}):
Para 0<x<2, tem g(x)=x(2-x)>0.
Em x=2, g(2)=0.
Para 2<x<\tfrac{5}{2}, g(x)<0.
Dessa forma, em (2,\tfrac{5}{2}) a função f(x)=C\,g(x) é negativa se C>0, e em (0,2) seria negativa se C<0. Não há escolha de C que torne f(x)\ge0 em todo o intervalo (0,\tfrac{5}{2}).
Passo 3
Como não existe C tal que f(x)\ge0 para todo x, a primeira condição de densidade de probabilidade falha. Portanto não precisamos nem verificar a integral.
Resposta
Não, f não pode ser densidade de probabilidade, pois em (2,\tfrac{5}{2}) ela toma valores negativos para qualquer C.