Considere a função f(x)=\left\{\begin{array}{cc}C\left(2 x-x^{2}\right), & 0<x<\frac{5}{2}, \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{array}\right.á
Poderia f ser uma função densidade de probabilidade? Caso, positivo, determine C.

Passo 1

O enunciado define
f(x)= \begin{cases} C\bigl(2x - x^2\bigr),&0<x<\tfrac{5}{2},\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}á
e pergunta se isso pode ser uma densidade de probabilidade. Para isso precisamos de duas condições:
  1. f(x)\ge0 para todo x\in\mathbb R.
  2. \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\mathrm dx=1.

Passo 2

Defina g(x)=2x - x^2. Observe o sinal de g(x) em (0,\tfrac{5}{2}):
  • Para 0<x<2, tem g(x)=x(2-x)>0.
  • Em x=2, g(2)=0.
  • Para 2<x<\tfrac{5}{2}, g(x)<0.
Dessa forma, em (2,\tfrac{5}{2}) a função f(x)=C\,g(x) é negativa se C>0, e em (0,2) seria negativa se C<0. Não há escolha de C que torne f(x)\ge0 em todo o intervalo (0,\tfrac{5}{2}).

Passo 3

Como não existe C tal que f(x)\ge0 para todo x, a primeira condição de densidade de probabilidade falha. Portanto não precisamos nem verificar a integral.

Resposta

Não, f não pode ser densidade de probabilidade, pois em (2,\tfrac{5}{2}) ela toma valores negativos para qualquer C.

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