Considere a função f(x)=\left\{\begin{array}{cc}C\left(2 x-x^{3}\right), & 0<x<\frac{5}{2}, \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{array}\right.á
Poderia f ser uma função densidade de probabilidade? Caso, positivo, determine C.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} C\bigl(2x - x^{3}\bigr),&0<x<\tfrac{5}{2},\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}á
e pergunta se ela pode ser uma densidade de probabilidade e, em caso afirmativo, determinar C. Para ser densidade, f deve satisfazer duas condições:
  1. Não negatividade: f(x)\ge0 para todo x.
  2. Normalização: \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1.

Passo 2

Verificamos a não negatividade em (0,\tfrac{5}{2}). O fator que muda de sinal é
2x - x^{3} = x\,(2 - x^{2}).
Esse produto é \ge0 se e somente se x\in[0,\sqrt{2}]. Para x>\sqrt{2}, 2 - x^{2}<0 e 2x - x^{3}<0. Logo, não há escolha de C (positivo ou negativo) que garanta C(2x - x^{3})\ge0 em todo o intervalo (0,\tfrac{5}{2}).

Passo 3

Mesmo assim, calculemos a constante que normalizaria a integral.
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =\int_{0}^{5/2}C\bigl(2x - x^{3}\bigr)\,dx =C\left[\int_{0}^{5/2}2x\,dx - \int_{0}^{5/2}x^{3}\,dx\right].
Calculando cada integral:
\int_{0}^{5/2}2x\,dx =\Bigl[x^{2}\Bigr]_{0}^{5/2} =\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)^{2} =\tfrac{25}{4},
\int_{0}^{5/2}x^{3}\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{5/2} =\tfrac{1}{4}\,\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)^{4} =\tfrac{625}{64}.
Portanto
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =C\Bigl(\tfrac{25}{4}-\tfrac{625}{64}\Bigr) =C\Bigl(\tfrac{400}{64}-\tfrac{625}{64}\Bigr) =C\bigl(-\tfrac{225}{64}\bigr).
Para igualar a 1 teríamos C\bigl(-\tfrac{225}{64}\bigr)=1, ou seja
C=-\frac{64}{225}.

Passo 4

Porém, esse valor de C é negativo. Com C<0, na porção onde 2x - x^{3}>0 (isto é, 0<x<\sqrt{2}) a função f(x)=C(2x-x^{3}) fica negativa, violando a condição de não negatividade.

Resposta

Não existe valor de C que torne f simultaneamente não negativa e normalizada. Portanto, f não pode ser uma função densidade de probabilidade.

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