Considere a função 
 .
Encontrar as assíntotas verticais ou horizontais, se existirem, e esboçar o gráfico.
Encontrar as assíntotas verticais ou horizontais, se existirem, e esboçar o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a função 
 . O conteúdo aqui envolve funções logarítmicas e a identificação de assíntotas verticais e horizontais. Para resolver, vamos precisar entender onde a função pode ter comportamentos infinitos e como ela se comporta quando 
  cresce ou decresce sem limites.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a assíntota vertical. Assíntotas verticais acontecem quando a função tende a 
  ou 
  próximo a certos valores de 
 . Para a função logarítmica, isso geralmente ocorre onde o argumento do logaritmo é zero, porque 
  não está definido e a função explode para 
 .
Então, vamos resolver onde 
 :
Portanto, 
  é onde a função tem uma assíntota vertical.
Passo 3
Agora, vamos verificar se existe alguma assíntota horizontal. As assíntotas horizontais são os valores que a função se aproxima quando 
  tende a 
  ou 
 .
Calculando o limite de 
  quando 
  vai para 
 :
Isso significa que não há assíntota horizontal quando 
  tende a 
 .
Agora, calculando o limite quando 
  vai para 
 :
Aqui, precisamos lembrar que o argumento do logaritmo 
  deve ser positivo. Quando 
  vai para 
 , 
  tende a 
 , mas o logaritmo de números negativos não é definido. Portanto, a função não existe para valores de 
  menores que 
 , e não há assíntota horizontal nesse caso.
Passo 4
Com as informações anteriores, sabemos que a única assíntota da função é vertical em 
 . Para esboçar o gráfico, a função terá uma curva que se aproxima dessa linha vertical, aumentando sem limite conforme 
  se aproxima de 
  pela direita, e crescendo lentamente à medida que 
  aumenta.
Resposta
A função 
  possui uma assíntota vertical em 
  e não possui assíntotas horizontais.