Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões 
  e 
 , com um lado comum 
 . Se cada pasto deve medir 
  de área, determinar as dimensōes 
  e 
 , de forma que o comprimento da cerca seja mínimo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fazendeiro que precisa cercar dois pastos retangulares. Cada pasto tem dimensões 
  e 
 , mas eles compartilham um lado comum de comprimento 
 . Cada pasto deve ter uma área de 
 . Nosso objetivo é encontrar os valores de 
  e 
  que fazem com que o comprimento total da cerca seja o menor possível.
Aqui, vamos usar conceitos de otimização, especificamente funções de duas variáveis e derivadas, para minimizar o comprimento da cerca respeitando as áreas dos pastos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a área de cada pasto. Para um retângulo, a área é dada por:
Aqui, temos que cada pasto tem uma área de 
 , então:
Podemos rearranjar essa equação para expressar 
  em termos de 
 :
Passo 3
Agora, vamos calcular o comprimento total da cerca. Como os dois pastos compartilham um lado comum de comprimento 
 , a cerca precisa cercar cada pasto individualmente, mas descontando esse lado compartilhado.
Para um único pasto, o perímetro seria:
Como temos dois pastos e um lado 
  em comum, o comprimento total da cerca será:
Passo 4
Substituindo 
  pela expressão que encontramos anteriormente (
 ) na fórmula do perímetro total, temos:
Agora, nossa função para minimizar é 
 .
Passo 5
Para encontrar o valor de 
  que minimiza 
 , vamos derivar 
  em relação a 
  e igualar a derivada a zero.
Primeiro, calculamos a derivada de 
 :
Passo 6
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos de mínimo:
Resolvendo para 
 :
Multiplicando ambos os lados por 
 :
Dividindo por 2:
Extraindo a raiz quadrada:
Passo 7
Agora que encontramos 
 , podemos encontrar 
  usando a relação 
 :
Resposta
As dimensões que minimizam o comprimento da cerca são 
  e 
 .