Considere a função
, centrada em
. Determine a série de potências desta função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a série de potências da função , centrada em
. Isso significa que queremos expressar a função seno como uma soma infinita de potências de
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de série de Taylor, que nos ajuda a expandir funções em torno de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de Taylor. É uma forma de escrever uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função no ponto de expansão
. A fórmula geral da série de Taylor para uma função
centrada em
é:
Aqui,
representa a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas de e avaliá-las em
:
-
Função original:
-
Primeira derivada:
-
Segunda derivada:
-
Terceira derivada:
-
Quarta derivada:
E assim por diante. Observamos que as derivadas vão se repetindo a cada quatro termos.
Passo 4
Agora, vamos colocar tudo isso na fórmula da série de Taylor:
Substituindo os valores que encontramos:
Perceba que cada termo seguinte envolve as derivadas sucessivas e o fatorial correspondente no denominador.
Resposta
A série de potências da função centrada em
é dada por:
Ou, de forma geral:
Essa série representa a expansão de em torno de
utilizando as derivadas da função nesse ponto.