Calcule as seguintes integrais.
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Passo 1
Estamos diante de uma integral que envolve uma fração algébrica:
. Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo integral, como a decomposição em frações parciais, que nos ajuda a simplificar integrais de funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a fração original em duas partes separadas para facilitar a integração:
Passo 3
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente:
-
Integral de
: Aqui, podemos usar uma substituição simples. Seja, então derivando ambos os lados, temos , ou seja, . Substituindo na integral: -
Integral de
: Reconhecemos que o denominador é uma diferença de quadrados:. Podemos então usar a técnica de frações parciais para decompor a fração: Para encontrar os valores dee , resolvemos: Escolhendo valores convenientes para: - Se
: - Se
:
Assim, a integral fica:Integrando cada termo: - Se
Resposta
A integral é dada por: