Calcule as seguintes integrais.
© integral x+1x^2-4 d x

Passo 1

Estamos diante de uma integral que envolve uma fração algébrica: integral x+1x^2-4 , dx. Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo integral, como a decomposição em frações parciais, que nos ajuda a simplificar integrais de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a fração original em duas partes separadas para facilitar a integração:
integral x+1x^2-4 , dx = integral xx^2-4 , dx + integral 1x^2-4 , dx

Passo 3

Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente:
  1. Integral de xx^2-4:
    Aqui, podemos usar uma substituição simples. Seja u = x^2 - 4, então derivando ambos os lados, temos du = 2x , dx, ou seja, du2 = x , dx. Substituindo na integral:
    integral xx^2-4 , dx = 12 integral duu = 12 ln|u| + C = 12 ln|x^2-4| + C
  2. Integral de 1x^2-4:
    Reconhecemos que o denominador é uma diferença de quadrados: x^2 - 2^2. Podemos então usar a técnica de frações parciais para decompor a fração:
    1x^2-4 = 1(x-2)(x+2) = Ax-2 + Bx+2
    Para encontrar os valores de A e B, resolvemos:
    1 = A(x+2) + B(x-2)
    Escolhendo valores convenientes para x:
    • Se x = 2: 1 = A(4) Rightarrow A = 14
    • Se x = -2: 1 = B(-4) Rightarrow B = -14
    Assim, a integral fica:
    integral 1x^2-4 , dx = 14 integral 1x-2 , dx - 14 integral 1x+2 , dx
    Integrando cada termo:
    14 ln|x-2| - 14 ln|x+2| + C

Resposta

A integral é dada por:
12 ln|x^2-4| + 14 ln|x-2| - 14 ln|x+2| + C

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