Considere a função:
f(x)=x^{3}-x
(a) Usando a definição de derivada (“por limite”), determine f^{\prime}(1).
(b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-x
e pede (a) a derivada em x=1 usando a definição por limite e (b) a reta tangente ao gráfico de f em x=1. Para isso vamos usar a fórmula
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
e depois a fórmula da reta tangente em (a,f(a)):
y - f(a) = f'(a)\,(x-a).

Passo 2

Aplicando a definição em a=1, temos
f'(1) = \lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{\bigl((1+h)^{3} - (1+h)\bigr) - \bigl(1^{3}-1\bigr)}{h}.

Passo 3

Expandindo e simplificando o numerador:
(1+h)^{3} - (1+h) - (1-1) = (1 + 3h + 3h^{2} + h^{3}) - 1 - h = 3h + 3h^{2} + h^{3} - h = 2h + 3h^{2} + h^{3}.
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f'(1) = \lim_{h\to0}\frac{2h + 3h^{2} + h^{3}}{h} = \lim_{h\to0}\bigl(2 + 3h + h^{2}\bigr) = 2.

Passo 4

Para a reta tangente em x=1, usamos o ponto \bigl(1,f(1)\bigr)=(1,0) e o coeficiente angular f'(1)=2. Assim
y - 0 = 2\,(x - 1)
que simplifica para
y = 2x - 2.

Resposta

(a) f'(1)=2
(b) y = 2x - 2

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