Considere a função:
f(x)=\left\{\begin{aligned} 3 x-1, & \text { se } x<2 \\\\ -x^{2}+\frac{9}{2} x, & \text { se } x \geq 2 \end{aligned}\right.
(a) f é contínua em x=2 ?
(b) f é derivável em x=2 ?

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes
f(x)=\begin{cases} 3x-1, & x<2,\\\\ -\,x^{2}+\tfrac{9}{2}x, & x\ge2 \end{cases}
e pede para verificar em x=2
(a) continuidade e
(b) derivabilidade.
Para isso vamos usar que
– uma função é contínua em um ponto se os limites laterais coincidem entre si e com o valor da função;
– uma função é derivável em um ponto se as derivadas laterais existem e são iguais.

Passo 2

Verificação de continuidade em x=2:
– Limite pela esquerda:
\lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^-}(3x-1)=3\cdot2-1=5.
– Limite pela direita:
\lim_{x\to2^+}f(x) =\lim_{x\to2^+}\Bigl(-x^{2}+\tfrac{9}{2}x\Bigr) =-2^{2}+\tfrac{9}{2}\cdot2 =-4+9=5.
– Valor em x=2 (usa a segunda expressão):
f(2)=-2^{2}+\tfrac{9}{2}\cdot2=5.
Como \lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^+}f(x)=f(2)=5, f é contínua em x=2.

Passo 3

Verificação de derivabilidade em x=2:
– Derivada pela esquerda (derivada de 3x-1 é constante):
f'_{-}(2)=3.
– Derivada pela direita (derivada de -x^{2}+\tfrac{9}{2}x é -2x+\tfrac{9}{2}):
f'_{+}(2)=-2\cdot2+\tfrac{9}{2}=-4+\tfrac{9}{2}=\tfrac{1}{2}.
Como f'_{-}(2)=3\neq\tfrac{1}{2}=f'_{+}(2), as derivadas laterais são diferentes e f não é derivável em x=2.

Resposta

(a) Sim, f é contínua em x=2.
(b) Não, f não é derivável em x=2.

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