Considere a função
. Calcule a derivada desta função seguindo os passos abaixo.
a. Desenvolva a expressão
. Faça as simplificações e operações cabíveis.
b. Em seguida, obtenha uma expressão para
livre de termos que possam gerar indeterminações.
c. Por fim, calcule
a. Desenvolva a expressão
b. Em seguida, obtenha uma expressão para
c. Por fim, calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
definida por
As etapas pedidas são:
a. Desenvolver a expressão e simplificá‑la.
b. Obter uma expressão para livre de indeterminações.
c. Calcular (ou seja, encontrar
).
a. Desenvolver a expressão
b. Obter uma expressão para
c. Calcular
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de
acima; a diferença incremental será feita em termos de
(use
enquanto simplificamos).
Passo 2
Escrevemos
substituindo
por
:
Escrevemos também
na forma de raiz para facilitar a diferença:
Portanto a diferença pedida é
Passo 3
Factoramos o
e colocamos a diferença sobre um denominador comum para ver a forma:
Juntando em um único quociente:
Aqui já temos uma forma mais compacta, mas ainda há uma diferença de raízes no numerador que gera indeterminação ao dividir por
. A técnica padrão é racionalizar o numerador multiplicando por seu conjugado.
Passo 4
Multiplicamos numerador e denominador da fração que aparece acima por
(o conjugado) para eliminar a diferença de raízes no numerador:
No numerador obtemos a diferença de quadrados:
No denominador fica
Logo, usando essa racionalização, da Etapa anterior
Passo 5
Agora formamos o quociente incremental pedido:
Cancelamos o fator
(lembre que estamos supondo
para essa simplificação):
Esta expressão já está livre de indeterminações do tipo
e é adequada para tomar o limite
.
Passo 6
Tomamos o limite quando
. No denominador substituímos
por
:
Simplificamos passo a passo:
e
. Então o denominador total é
Portanto
Escrevendo de forma de potência:
Passo 7
Breve verificação rápida (para confiança): usar a regra da potência dá
, que coincide com o resultado obtido pelo limite.