Considere a função f(x)=2(x+1)^{-1 / 2}. Calcule a derivada desta função seguindo os passos abaixo.
a. Desenvolva a expressão f(x+\Delta)-f(x). Faça as simplificações e operações cabíveis.
b. Em seguida, obtenha uma expressão para
\frac{f(x+\Delta)-f(x)}{\Delta},
livre de termos que possam gerar indeterminações.
c. Por fim, calcule
\lim _{\Delta \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta)-f(x)}{\Delta} .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f definida por
f(x)=2(x+1)^{-1/2}.
As etapas pedidas são:
a. Desenvolver a expressão f(x+\Delta)-f(x) e simplificá‑la.
b. Obter uma expressão para \displaystyle\frac{f(x+\Delta)-f(x)}{\Delta} livre de indeterminações.
c. Calcular \displaystyle\lim_{\Delta\to 0}\frac{f(x+\Delta)-f(x)}{\Delta} (ou seja, encontrar f'(x)).
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de f(x) acima; a diferença incremental será feita em termos de \Delta (use \Delta\neq 0 enquanto simplificamos).

Passo 2

Escrevemos f(x+\Delta) substituindo x por x+\Delta:
f(x+\Delta)=2\bigl(x+\Delta+1\bigr)^{-1/2}=\frac{2}{\sqrt{x+\Delta+1}}.
Escrevemos também f(x) na forma de raiz para facilitar a diferença:
f(x)=\frac{2}{\sqrt{x+1}}.
Portanto a diferença pedida é
f(x+\Delta)-f(x)=\frac{2}{\sqrt{x+\Delta+1}}-\frac{2}{\sqrt{x+1}}.

Passo 3

Factoramos o 2 e colocamos a diferença sobre um denominador comum para ver a forma:
f(x+\Delta)-f(x)=2\left(\frac{1}{\sqrt{x+\Delta+1}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right).
Juntando em um único quociente:
f(x+\Delta)-f(x)=2\cdot\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x+\Delta+1}}{\sqrt{x+\Delta+1}\,\sqrt{x+1}}.
Aqui já temos uma forma mais compacta, mas ainda há uma diferença de raízes no numerador que gera indeterminação ao dividir por \Delta. A técnica padrão é racionalizar o numerador multiplicando por seu conjugado.

Passo 4

Multiplicamos numerador e denominador da fração que aparece acima por \sqrt{x+\Delta+1}+\sqrt{x+1} (o conjugado) para eliminar a diferença de raízes no numerador:
\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x+\Delta+1}}{\sqrt{x+\Delta+1}\,\sqrt{x+1}} \cdot \frac{\sqrt{x+\Delta+1}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+\Delta+1}+\sqrt{x+1}}.
No numerador obtemos a diferença de quadrados:
(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+\Delta+1})(\sqrt{x+\Delta+1}+\sqrt{x+1}) =(x+1)-(x+\Delta+1)=-\Delta.
No denominador fica
\sqrt{x+\Delta+1}\,\sqrt{x+1}\,\bigl(\sqrt{x+\Delta+1}+\sqrt{x+1}\bigr).
Logo, usando essa racionalização, da Etapa anterior
f(x+\Delta)-f(x)=2\cdot\frac{-\Delta}{\sqrt{x+\Delta+1}\,\sqrt{x+1}\,\bigl(\sqrt{x+\Delta+1}+\sqrt{x+1}\bigr)}.

Passo 5

Agora formamos o quociente incremental pedido:
\frac{f(x+\Delta)-f(x)}{\Delta} =2\cdot\frac{-\Delta}{\Delta\,\sqrt{x+\Delta+1}\,\sqrt{x+1}\,\bigl(\sqrt{x+\Delta+1}+\sqrt{x+1}\bigr)}.
Cancelamos o fator \Delta (lembre que estamos supondo \Delta\neq 0 para essa simplificação):
\frac{f(x+\Delta)-f(x)}{\Delta} =2\cdot\frac{-1}{\sqrt{x+\Delta+1}\,\sqrt{x+1}\,\bigl(\sqrt{x+\Delta+1}+\sqrt{x+1}\bigr)}.
Esta expressão já está livre de indeterminações do tipo \tfrac{0}{0} e é adequada para tomar o limite \Delta\to 0.

Passo 6

Tomamos o limite quando \Delta\to 0. No denominador substituímos x+\Delta+1 por x+1:
\lim_{\Delta\to 0}\frac{f(x+\Delta)-f(x)}{\Delta} =2\cdot\frac{-1}{\sqrt{x+1}\,\sqrt{x+1}\,\bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}\bigr)}.
Simplificamos passo a passo: \sqrt{x+1}\,\sqrt{x+1}=x+1 e \sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}=2\sqrt{x+1}. Então o denominador total é
(x+1)\cdot 2\sqrt{x+1}=2(x+1)\sqrt{x+1}.
Portanto
\lim_{\Delta\to 0}\frac{f(x+\Delta)-f(x)}{\Delta} =2\cdot\frac{-1}{2(x+1)\sqrt{x+1}}=\frac{-1}{(x+1)\sqrt{x+1}}.
Escrevendo de forma de potência:
\frac{-1}{(x+1)\sqrt{x+1}}=-(x+1)^{-3/2}.

Passo 7

Breve verificação rápida (para confiança): usar a regra da potência dá f'(x)=2\cdot(-\tfrac{1}{2})(x+1)^{-3/2}=-(x+1)^{-3/2}, que coincide com o resultado obtido pelo limite.

Resposta

f'(x)=-(x+1)^{-3/2}

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