f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 2, & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
(a) Calcule o limite \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) ou mostre que esse limite não existe.
(b) Calcule o limite \lim _{(x, y) \rightarrow(-1,-1)} f(x, y) ou mostre que esse limite não existe.
(c) f é contínua em (0,0) ? Justifique.
(d) f é contínua em (-1,-1) ? Justifique.
As perguntas são:
(a) Calcular \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) ou mostrar que não existe.
(b) Calcular \displaystyle \lim_{(x,y)\to(-1,-1)} f(x,y) ou mostrar que não existe.
(c) Determinar se f é contínua em (0,0) e justificar.
(d) Determinar se f é contínua em (-1,-1) e justificar.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A definição explícita de f para (x,y)\neq(0,0) é a razão de dois polinômios: numerador y^{2}-x^{2} e denominador x^{2}+y^{2}.
O valor especial f(0,0)=2 foi atribuído somente em (0,0).
Para pontos diferentes de (0,0) a expressão analítica \dfrac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}+y^{2}} vale e é composta por funções polinomiais e razão delas (desde que o denominador seja \neq0).]
Passo 2
Vamos tratar (a): estudar \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}+y^{2}}. Uma ferramenta natural para limites em (0,0) é usar coordenadas polares porque x e y tendem a zero com razão controlada pelo ângulo. Introduzo
x = r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge0 e \theta\in\mathbb{R}. Quando (x,y)\to(0,0) isso corresponde a r\to0^+ com \theta podendo variar.
Passo 3
Faço a substituição na expressão (para (x,y)\neq(0,0), logo r>0):
Observação importante: após cancelar r^{2} o resultado não depende mais de r, depende apenas de \theta. Em termos trigonométricos podemos reescrever
\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta = -\cos(2\theta).
Isso significa que, ao nos aproximarmos de (0,0) por diferentes direções (ou seja, por diferentes \theta), o valor da função tende a diferentes números que dependem de \theta. Para que o limite \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existisse, esse valor deveria ser o mesmo para todo \theta.
Passo 5
Mostro exemplos de direções com limites distintos (isso prova que o limite não existe):
Aproximando pelo eixo x (trajetória y=0, que corresponde a \theta=0), temos
\sin^{2}0-\cos^{2}0 = 0 - 1 = -1.
Aproximando pelo eixo y (trajetória x=0, corresponde a \theta=\tfrac{\pi}{2}), temos
o que reforça que diferentes caminhos produzem diferentes valores (−1, 0, 1 etc.). Conclusão para (a): o limite não existe.
Passo 7
Agora (b): calcular \displaystyle \lim_{(x,y)\to(-1,-1)} f(x,y). Observação: o ponto (-1,-1) não é (0,0), então nas proximidades de (-1,-1) vale a expressão analítica
f(x,y)=\frac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}+y^{2}}
pois o denominador x^{2}+y^{2} em (-1,-1) é 1+1=2\neq0. Funções polinomiais são contínuas e o quociente de duas funções contínuas é contínuo sempre que o denominador não é zero. Portanto podemos obter o limite simplesmente substituindo o ponto.
Passo 8
Substituo (x,y)=(-1,-1) na fórmula:
y^{2}-x^{2} = (-1)^{2}-(-1)^{2} = 1-1=0,
x^{2}+y^{2} = 1+1=2.
Logo
\lim_{(x,y)\to(-1,-1)} f(x,y) = \frac{0}{2}=0.
Passo 9
Passo (c): verificar continuidade em (0,0). Definição: f é contínua em (0,0) se e apenas se \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0). Do passo (a) vimos que o limite \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe. Portanto não pode ser igual a f(0,0)=2. Conclusão: f não é contínua em (0,0).
Passo 10
Passo (d): verificar continuidade em (-1,-1). Para (-1,-1) o limite existe e vale 0 (passo 8), e esse é exatamente o valor da expressão \dfrac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}+y^{2}} em (-1,-1). Como não foi dada nenhuma definição especial para (-1,-1) (o valor especial foi dado apenas em (0,0)), temos f(-1,-1)=0. Logo \displaystyle \lim_{(x,y)\to(-1,-1)} f(x,y)=f(-1,-1), o que significa que f é contínua em (-1,-1).
Resposta
(a) O limite não existe.
(b) \,0
(c) Não; f não é contínua em (0,0).
(d) Sim; f é contínua em (-1,-1).