Questão 65 (Banco - OBMEP - 2020). As progressões geométricas
e
possuem a mesma razão, com
e
. Encontre o valor de
.
Passo 1
O enunciado dá duas progressões geométricas com a mesma razão e fornece:
-
, -
, -
.
O que é pedido: encontrar o valor de
.
Informações relevantes listadas:
- Para cada progressão geométrica, o termo geral pode ser escrito em função da primeira termo e da razão comum (essa fórmula será usada).
- As três igualdades numéricas dadas acima serão usadas para montar uma equação que relaciona a razão.
Passo 2
Recordando a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica: se a razão comum é
e o primeiro termo é
, então o
-ésimo termo é
Explicando cada símbolo:
é o termo de ordem
,
é o primeiro termo,
é a razão, e
significa multiplicar
por si próprio
vezes. Essa fórmula vale tanto para a sequência
quanto para
.
Aplicando a fórmula às duas sequências:
onde
é a razão comum (a mesma para as duas).
Passo 3
Usamos a informação
. Substituindo pelas fórmulas:
Agora vamos resolver essa equação para
. Colocando todos os termos de um lado:
Fatorando
:
Passo 4
Da fatoração acima, as possibilidades são
A primeira opção dá
. A segunda opção leva a
Observação rápida sobre as duas possibilidades:
- Se
, então todos os termos a partir do segundo são zero e, nesse caso, . Essa é uma solução matemática válida da equação inicial. - A outra família de soluções vem de
. Como aparece, pode ser , mas o valor de será o mesmo em qualquer desses casos (positivo), portanto será bem definido a partir de .
Para que haja uma única resposta não-degenerada (caso tratado usualmente em competições como OBMEP), seguimos com
porque produz o valor não-zero de
esperado na solução padrão.
Passo 5
A partir de
calculamos
facilmente:
Passo 6
Agora calculamos
usando
:
Simplificando
: