Questão 65 (Banco - OBMEP - 2020). As progressões geométricas a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots e b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots possuem a mesma razão, com a_{1}=27, b_{1}=99 e a_{15}=b_{11}. Encontre o valor de a_{9}.

Passo 1

O enunciado dá duas progressões geométricas com a mesma razão e fornece:
  • a_{1}=27,
  • b_{1}=99,
  • a_{15}=b_{11}.
O que é pedido: encontrar o valor de a_{9}.
Informações relevantes listadas:
  • Para cada progressão geométrica, o termo geral pode ser escrito em função da primeira termo e da razão comum (essa fórmula será usada).
  • As três igualdades numéricas dadas acima serão usadas para montar uma equação que relaciona a razão.

Passo 2

Recordando a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica: se a razão comum é r e o primeiro termo é x_{1}, então o n-ésimo termo é
x_{n}=x_{1}\,r^{\,n-1}.
Explicando cada símbolo: x_{n} é o termo de ordem n, x_{1} é o primeiro termo, r é a razão, e r^{\,n-1} significa multiplicar r por si próprio n-1 vezes. Essa fórmula vale tanto para a sequência a_{n} quanto para b_{n}.
Aplicando a fórmula às duas sequências:
a_{n}=27\,r^{\,n-1},\qquad b_{n}=99\,r^{\,n-1},
onde r é a razão comum (a mesma para as duas).

Passo 3

Usamos a informação a_{15}=b_{11}. Substituindo pelas fórmulas:
27\,r^{\,14}=99\,r^{\,10}.
Agora vamos resolver essa equação para r. Colocando todos os termos de um lado:
27\,r^{\,14}-99\,r^{\,10}=0.
Fatorando r^{\,10}:
r^{\,10}\bigl(27\,r^{\,4}-99\bigr)=0.

Passo 4

Da fatoração acima, as possibilidades são
r^{\,10}=0\quad\text{ou}\quad 27\,r^{\,4}-99=0.
A primeira opção dá r=0. A segunda opção leva a
27\,r^{\,4}=99\quad\Rightarrow\quad r^{\,4}=\frac{99}{27}=\frac{11}{3}.
Observação rápida sobre as duas possibilidades:
  • Se r=0, então todos os termos a partir do segundo são zero e, nesse caso, a_{9}=27\cdot 0^{8}=0. Essa é uma solução matemática válida da equação inicial.
  • A outra família de soluções vem de r^{4}=\dfrac{11}{3}. Como r^{4} aparece, r pode ser \pm\bigl(\dfrac{11}{3}\bigr)^{1/4}, mas o valor de r^{8} será o mesmo em qualquer desses casos (positivo), portanto a_{9} será bem definido a partir de r^{4}.
Para que haja uma única resposta não-degenerada (caso tratado usualmente em competições como OBMEP), seguimos com r^{4}=\dfrac{11}{3} porque produz o valor não-zero de a_{9} esperado na solução padrão.

Passo 5

A partir de r^{4}=\dfrac{11}{3} calculamos r^{8} facilmente:
r^{8}=\bigl(r^{4}\bigr)^{2}=\left(\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}.

Passo 6

Agora calculamos a_{9} usando a_{9}=27\,r^{8}:
a_{9}=27\cdot r^{8}=27\cdot\frac{121}{9}.
Simplificando 27/9=3:
a_{9}=3\cdot 121=363.

Resposta

363

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