Considere a função
. Determine:
Seja o ponto ( 1,1 ), que outro ponto (
) tem o mesmo valor de
.
Seja o ponto ( 1,1 ), que outro ponto (
Passo 1
O enunciado dá a função
e informa o ponto
. A pergunta é: encontrar outro ponto
que tenha o mesmo valor de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
. - O ponto dado é
. - O que se quer é um ponto
(ou a descrição de todos os pontos) tal que .
Passo 2
Calcular
(substituir as coordenadas na definição de
). Isso serve para saber qual valor devemos manter igual:
Explicando passo a passo:
significa
vezes
, que dá
.
significa
, que também dá
. Somando os dois resultados obtemos
.
Passo 3
O conjunto de pontos que tem o mesmo valor de
é o conjunto de soluções da equação
Esse conjunto é chamado nível (ou nível de altura) da função para o valor
: são todos os pontos
cuja combinação
dá
.
Passo 4
Resolver a equação para expressar
em função de
. Isolando
:
Agora aplicamos a raiz cúbica (a inversa da potência ao cubo). Como a raiz cúbica de um número real está sempre definida e é real, temos
Explicação didática:
indica a raiz cúbica. Ao elevar ao cubo e depois extrair a raiz cúbica, recupera-se o número original. Diferente da raiz quadrada, a raiz cúbica de um número negativo é bem definida e resulta em número negativo (por exemplo,
).
Passo 5
Interpretando o resultado: para qualquer valor real de
a expressão
é um número real, logo
fornece um valor real de
. Portanto existe uma família inteira (infinitos) de pontos
com
. Em forma paramétrica:
Passo 6
Dar exemplos simples e fáceis de checar (úteis na prova quando pedirem “um outro ponto”):
- Tomando
: , então e . Logo é um ponto diferente de que tem o mesmo valor de . - Tomando
: , então e . Logo é outro exemplo. - Tomando
: , então e . Logo também funciona.
Esses exemplos mostram que há muitas opções; numa prova, se o enunciado pede “que outro ponto”, basta dar qualquer um deles (por exemplo
) e, se quiser, justificar que pertence ao nível usando a equação.
Resposta
Um exemplo simples: