Considere a função f(x, y)=x^{2}+y^{3}. Determine:
Seja o ponto ( 1,1 ), que outro ponto ( x, y ) tem o mesmo valor de f(1,1).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}+y^{3} e informa o ponto (1,1). A pergunta é: encontrar outro ponto (x,y) que tenha o mesmo valor de f(1,1).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é f(x,y)=x^{2}+y^{3}.
  • O ponto dado é (1,1).
  • O que se quer é um ponto (x,y) (ou a descrição de todos os pontos) tal que f(x,y)=f(1,1).

Passo 2

Calcular f(1,1) (substituir as coordenadas na definição de f). Isso serve para saber qual valor devemos manter igual:
f(1,1)=1^{2}+1^{3}=1+1=2.
Explicando passo a passo: 1^{2} significa 1 vezes 1, que dá 1. 1^{3} significa 1\cdot1\cdot1, que também dá 1. Somando os dois resultados obtemos 2.

Passo 3

O conjunto de pontos que tem o mesmo valor de f(1,1) é o conjunto de soluções da equação
x^{2}+y^{3}=2.
Esse conjunto é chamado nível (ou nível de altura) da função para o valor 2: são todos os pontos (x,y) cuja combinação x^{2}+y^{3} 2.

Passo 4

Resolver a equação para expressar y em função de x. Isolando y^{3}:
y^{3}=2-x^{2}.
Agora aplicamos a raiz cúbica (a inversa da potência ao cubo). Como a raiz cúbica de um número real está sempre definida e é real, temos
y=\sqrt[3]{\,2-x^{2}\,}.
Explicação didática: \sqrt[3]{\cdot} indica a raiz cúbica. Ao elevar ao cubo e depois extrair a raiz cúbica, recupera-se o número original. Diferente da raiz quadrada, a raiz cúbica de um número negativo é bem definida e resulta em número negativo (por exemplo, \sqrt[3]{-8}=-2).

Passo 5

Interpretando o resultado: para qualquer valor real de x a expressão 2-x^{2} é um número real, logo y=\sqrt[3]{2-x^{2}} fornece um valor real de y. Portanto existe uma família inteira (infinitos) de pontos (x,y) com f(x,y)=2. Em forma paramétrica:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y=\sqrt[3]{\,2-x^{2}\,}\}=\{(x,\sqrt[3]{2-x^{2}})\mid x\in\mathbb{R}\}.

Passo 6

Dar exemplos simples e fáceis de checar (úteis na prova quando pedirem “um outro ponto”):
  • Tomando x=-1: x^{2}=(-1)^{2}=1, então y^{3}=2-1=1 e y=1. Logo (-1,1) é um ponto diferente de (1,1) que tem o mesmo valor de f.
  • Tomando x=\sqrt{2}: x^{2}=2, então y^{3}=2-2=0 e y=0. Logo \bigl(\sqrt{2},0\bigr) é outro exemplo.
  • Tomando x=0: x^{2}=0, então y^{3}=2 e y=\sqrt[3]{2}. Logo (0,\sqrt[3]{2}) também funciona.
Esses exemplos mostram que há muitas opções; numa prova, se o enunciado pede “que outro ponto”, basta dar qualquer um deles (por exemplo (-1,1)) e, se quiser, justificar que pertence ao nível usando a equação.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y=\sqrt[3]{\,2-x^{2}\,}\newline
Um exemplo simples: (-1,1)

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