Calcule:
\int \frac{5 x^{3}-3 x^{2}+7 x-3}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado.
  • Pede-se calcular a integral indefinida
\int \frac{5 x^{3}-3 x^{2}+7 x-3}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx.
  • A expressão é uma função racional (um polinômio dividido por outro polinômio). O numerador tem grau 3 e o denominador efetivamente tem grau 4 (pois \left(x^{2}+1\right)^{2} é de grau 4), então a fração é própria e podemos tentar decompor para integrar mais facilmente.

Passo 2

Estratégia: decompor o integrando escrevendo o numerador como um produto de um polinômio de grau menor vezes [\left(x^{2}+1\right)) mais um resto de grau menor que 2. Isso permite separar a integral em termos mais simples.
Procuramos polinômios Q(x)=ax+b e R(x)=cx+d tais que
5x^{3}-3x^{2}+7x-3 = (ax+b)\bigl(x^{2}+1\bigr) + (cx+d).
Expandindo (ax+b)(x^{2}+1) obtemos
(ax+b)(x^{2}+1) = a x^{3} + b x^{2} + a x + b.
Somando cx+d temos o total
a x^{3} + b x^{2} + (a+c)x + (b+d).
Comparando coeficientes com 5x^{3}-3x^{2}+7x-3, igualamos:
\begin{cases} a = 5,\\[4pt] b = -3,\\[4pt] a + c = 7,\\[4pt] b + d = -3. \end{cases}
Substituindo a=5\] e \[b=-3 nas duas últimas equações:
\begin{cases} 5 + c = 7 \Rightarrow c = 2,\\[4pt] -3 + d = -3 \Rightarrow d = 0. \end{cases}
Logo Q(x)=5x-3\] e \(R(x)=2x. Portanto a decomposição do integrando é
\frac{5 x^{3}-3 x^{2}+7 x-3}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} = \frac{5x-3}{x^{2}+1} + \frac{2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}.
Isso é útil porque agora podemos integrar cada parcela separadamente.]

Passo 3

Integrar a primeira parcela \displaystyle \int \frac{5x-3}{x^{2}+1}\,dx.
Separe em duas integrais:
\int \frac{5x-3}{x^{2}+1}\,dx = \int \frac{5x}{x^{2}+1}\,dx \;-\; \int \frac{3}{x^{2}+1}\,dx.
  • Para \displaystyle \int \frac{5x}{x^{2}+1}\,dx faça a substituição usual u=x^{2}+1. Então du=2x\,dx, ou seja x\,dx=\dfrac{du}{2}. Assim
\int \frac{5x}{x^{2}+1}\,dx = 5\int \frac{x\,dx}{x^{2}+1} = 5\int \frac{1}{2}\frac{du}{u} = \frac{5}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr).
Aqui usei a regra \displaystyle \int \frac{du}{u}=\ln|u|+C; como x^{2}+1>0 podemos escrever \ln(x^{2}+1) sem valor absoluto.
  • Para \displaystyle \int \frac{3}{x^{2}+1}\,dx reconhecemos a primitiva da função arctangente: \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx=\arctan x. Assim
\int \frac{3}{x^{2}+1}\,dx = 3\arctan x.
Portanto
\int \frac{5x-3}{x^{2}+1}\,dx = \frac{5}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) - 3\arctan x.

Passo 4

Integrar a segunda parcela \displaystyle \int \frac{2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx.
Use novamente a substituição u=x^{2}+1. Então du=2x\,dx. A integral fica
\int \frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \int \frac{du}{u^{2}}.
Sabemos que \displaystyle \int u^{-2}\,du = -u^{-1}+C. Assim
\int \frac{du}{u^{2}} = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{x^{2}+1} + C.

Passo 5

Juntar as parcelas e escrever a primitiva geral.
Somando os resultados dos Passos 3 e 4:
\int \frac{5 x^{3}-3 x^{2}+7 x-3}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx = \frac{5}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) - 3\arctan x - \frac{1}{x^{2}+1} + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)-3\arctan x-\frac{1}{x^{2}+1}+C

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