A expressão é uma função racional (um polinômio dividido por outro polinômio). O numerador tem grau 3 e o denominador efetivamente tem grau 4 (pois \left(x^{2}+1\right)^{2} é de grau 4), então a fração é própria e podemos tentar decompor para integrar mais facilmente.
Passo 2
Estratégia: decompor o integrando escrevendo o numerador como um produto de um polinômio de grau menor vezes [\left(x^{2}+1\right)) mais um resto de grau menor que 2. Isso permite separar a integral em termos mais simples.
Procuramos polinômios Q(x)=ax+b e R(x)=cx+d tais que
Aqui usei a regra \displaystyle \int \frac{du}{u}=\ln|u|+C; como x^{2}+1>0 podemos escrever \ln(x^{2}+1) sem valor absoluto.
Para \displaystyle \int \frac{3}{x^{2}+1}\,dx reconhecemos a primitiva da função arctangente: \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx=\arctan x. Assim