Considere a função f(x, y, z)=\ln \left(y^{2} e^{x z}\right) e o ponto P=(0,1,1). Determine a menor taxa de variação possível de f no ponto P. Obtenha um vetor unitário na direção e sentido do qual f cresce mais rapidamente.
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x,y,z)=\ln\bigl(y^{2}e^{xz}\bigr)
e o ponto P=(0,1,1). Pede-se a menor taxa de variação de f em P (ou seja, o menor valor da derivada direcional em P) e também um vetor unitário na direção em que f cresce mais rapidamente. Vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional para resolver.
Passo 2
Primeiro simplificamos f:
f(x,y,z)=\ln\bigl(y^{2}\bigr)+\ln\bigl(e^{xz}\bigr)=2\ln y + xz.
Sabendo que a maior derivada direcional em P vale \|\nabla f(P)\| e que a menor vale o negativo desse valor, concluímos que a menor taxa de variação é -\sqrt{5}.
Passo 5
A direção e sentido em que f cresce mais rapidamente é dada pelo vetor gradiente normalizado. Assim o vetor unitário procurado é