Considere a função f(x, y, z)=\ln \left(y^{2} e^{x z}\right) e o ponto P=(0,1,1). Determine a menor taxa de variação possível de f no ponto P. Obtenha um vetor unitário na direção e sentido do qual f cresce mais rapidamente.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=\ln\bigl(y^{2}e^{xz}\bigr)
e o ponto P=(0,1,1). Pede-se a menor taxa de variação de f em P (ou seja, o menor valor da derivada direcional em P) e também um vetor unitário na direção em que f cresce mais rapidamente. Vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional para resolver.

Passo 2

Primeiro simplificamos f:
f(x,y,z)=\ln\bigl(y^{2}\bigr)+\ln\bigl(e^{xz}\bigr)=2\ln y + xz.
Dessa forma podemos calcular o gradiente
\nabla f(x,y,z) =\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\frac{\partial f}{\partial z}\Bigr) =(z,\;\frac{2}{y},\;x).

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em P=(0,1,1):
\nabla f(0,1,1)=(1,\;2,\;0).

Passo 4

A magnitude desse gradiente em P é
\bigl\|\nabla f(0,1,1)\bigr\| =\sqrt{1^{2}+2^{2}+0^{2}} =\sqrt{5}.
Sabendo que a maior derivada direcional em P vale \|\nabla f(P)\| e que a menor vale o negativo desse valor, concluímos que a menor taxa de variação é -\sqrt{5}.

Passo 5

A direção e sentido em que f cresce mais rapidamente é dada pelo vetor gradiente normalizado. Assim o vetor unitário procurado é
\frac{\nabla f(0,1,1)}{\|\nabla f(0,1,1)\|} =\frac{1}{\sqrt{5}}\,(1,2,0).

Resposta

Menor taxa de variação em P: -\sqrt{5}.
Vetor unitário de maior crescimento: \bigl(1/\sqrt{5},\,2/\sqrt{5},\,0\bigr).

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