Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que y=x^{2} é uma curva de nível da função f(x, y), que possui derivadas parciais bem definidas em (0,0). Então:
\begin{array}{ll} (\quad) \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0 & (\quad) \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0 \\ (\quad) \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=1 & (\quad) \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=1 \\ (\quad) \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=-1 & (\quad) \text { nada se pode concluir } \end{array}

Passo 1

O enunciado diz que y=x^{2} é uma curva de nível de f(x,y). Isso significa que, ao longo dessa curva, a função g(x)=f\bigl(x,x^{2}\bigr) é constante numa vizinhança de x=0. O conteúdo que vamos usar é a derivada de uma função composta (regra de cadeia) e o fato de que a derivada de uma constante é zero.

Passo 2

Como g(x)=f\bigl(x,x^{2}\bigr) é constante, temos
\frac{d}{dx}\,g(x) =\frac{d}{dx}\,f\bigl(x,x^{2}\bigr) =0.
Pela regra de cadeia,
\frac{d}{dx}\,f\bigl(x,x^{2}\bigr) =f_{x}\bigl(x,x^{2}\bigr)\cdot 1 +f_{y}\bigl(x,x^{2}\bigr)\cdot 2x =0.

Passo 3

Agora avaliaremos a equação em x=0 (logo y=0):
f_{x}(0,0)+f_{y}(0,0)\cdot 2\cdot 0 =0 \quad\Longrightarrow\quad f_{x}(0,0)=0.
Não há nenhuma condição que fixe f_{y}(0,0), pois o termo que o envolve desapareceu ao multiplicar por 2x e avaliar em x=0.

Resposta

A única alternativa correta é \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.

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