Considere a função f(x, y, z)=x^{2} y+y z^{2}+z^{3}. Calcule d f / d x(x, y, z), d f / d y(x, y, z) e d f / d z(x, y, z).
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x^{2}y+yz^{2}+z^{3}
e pede três objetos (para todos os pontos (x,y,z)):
d f / d x(x,y,z);
d f / d y(x,y,z);
d f / d z(x,y,z).
Ou seja, calcular as derivadas parciais de f em relação a x, y e z.
Passo 2
O que é uma derivada parcial? Para fixar a ideia: a derivada parcial de f em relação a x no ponto (x,y,z) mede a taxa de variação de f quando apenas x varia e y,z ficam constantes. Formalmente,
De forma análoga seguram-se as outras variáveis para definir \partial f/\partial y e \partial f/\partial z.
Nota: o enunciado escreveu d f/d x; na prática, para funções de várias variáveis usamos a notação \partial f/\partial x, que é o mesmo conceito aqui.
Passo 3
Regras de derivação que vamos usar (lembrando e explicando cada uma):
Regra da constante: se c é constante (independente da variável que está sendo diferenciada), \dfrac{d}{dx} c = 0.
Regra da soma: \dfrac{d}{dx}(u+v)=\dfrac{du}{dx}+\dfrac{dv}{dx}.
Regra do produto (quando for necessário): \dfrac{d}{dx}(u\cdot v)=\dfrac{du}{dx}\,v+u\,\dfrac{dv}{dx}. Aqui u e v são funções da variável.
Regra da potência (caso mais comum): \dfrac{d}{dx} x^{n}=n x^{n-1}, onde n é um número real; aplica-se igualmente a uma variável qualquer z: \dfrac{d}{dz} z^{n}=n z^{n-1}.
Ao calcular uma derivada parcial, tratamos as outras letras como constantes; por exemplo, ao derivar em relação a x, y e z são constantes.
Passo 4
Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y,z).
Escrevendo f termo a termo:
f(x,y,z)=\underbrace{x^{2}y}_{\text{depende de }x}+\underbrace{yz^{2}}_{\text{não depende de }x}+\underbrace{z^{3}}_{\text{não depende de }x}.
Para o termo x^{2}y: aqui y é constante quando derivamos em x. Podemos vê-lo como y\cdot x^{2}. Usando a regra da constante multiplicativa e a regra da potência:
Resumo interpretativo rápido (para você usar na prova): cada termo da função é tratado separadamente; se o termo não contém a variável em que você está derivando, contribui com zero; se contém, aplica-se potência ou produto com as outras quantidades tratadas como constantes. Isso reduz bastante o trabalho em exercícios semelhantes.