Considere a função f(x, y, z)=x^{2} y+y z^{2}+z^{3}. Calcule d f / d x(x, y, z), d f / d y(x, y, z) e d f / d z(x, y, z).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x^{2}y+yz^{2}+z^{3}
e pede três objetos (para todos os pontos (x,y,z)):
  • d f / d x(x,y,z);
  • d f / d y(x,y,z);
  • d f / d z(x,y,z).
Ou seja, calcular as derivadas parciais de f em relação a x, y e z.

Passo 2

O que é uma derivada parcial? Para fixar a ideia: a derivada parcial de f em relação a x no ponto (x,y,z) mede a taxa de variação de f quando apenas x varia e y,z ficam constantes. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}.
De forma análoga seguram-se as outras variáveis para definir \partial f/\partial y e \partial f/\partial z.
Nota: o enunciado escreveu d f/d x; na prática, para funções de várias variáveis usamos a notação \partial f/\partial x, que é o mesmo conceito aqui.

Passo 3

Regras de derivação que vamos usar (lembrando e explicando cada uma):
  • Regra da constante: se c é constante (independente da variável que está sendo diferenciada), \dfrac{d}{dx} c = 0.
  • Regra da soma: \dfrac{d}{dx}(u+v)=\dfrac{du}{dx}+\dfrac{dv}{dx}.
  • Regra do produto (quando for necessário): \dfrac{d}{dx}(u\cdot v)=\dfrac{du}{dx}\,v+u\,\dfrac{dv}{dx}. Aqui u e v são funções da variável.
  • Regra da potência (caso mais comum): \dfrac{d}{dx} x^{n}=n x^{n-1}, onde n é um número real; aplica-se igualmente a uma variável qualquer z: \dfrac{d}{dz} z^{n}=n z^{n-1}.
Ao calcular uma derivada parcial, tratamos as outras letras como constantes; por exemplo, ao derivar em relação a x, y e z são constantes.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y,z).
Escrevendo f termo a termo:
f(x,y,z)=\underbrace{x^{2}y}_{\text{depende de }x}+\underbrace{yz^{2}}_{\text{não depende de }x}+\underbrace{z^{3}}_{\text{não depende de }x}.ãã
  • Para o termo x^{2}y: aqui y é constante quando derivamos em x. Podemos vê-lo como y\cdot x^{2}. Usando a regra da constante multiplicativa e a regra da potência:
\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y)=y\cdot\frac{d}{dx}x^{2}=y\cdot 2x=2xy.
  • Para yz^{2}: não contém x, logo sua derivada parcial em relação a x é 0.
  • Para z^{3}: também não contém x, derivada 0.
Somando as contribuições:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=2xy+0+0=2xy.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y,z).
Agora derivamos em relação a y, vendo x e z como constantes.
  • Para x^{2}y: é x^{2}\cdot y. Como x^{2} é constante ao derivar em y,
\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y)=x^{2}\cdot\frac{d}{dy}y=x^{2}\cdot 1=x^{2}.
  • Para yz^{2}: é z^{2}\cdot y com z^{2} constante, então
\frac{\partial}{\partial y}(yz^{2})=z^{2}\cdot\frac{d}{dy}y=z^{2}.
  • Para z^{3}: não depende de y, então derivada 0.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=x^{2}+z^{2}+0=x^{2}+z^{2}.

Passo 6

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial z}(x,y,z).
Derivando em relação a z, mantendo x e y fixos.
  • Para x^{2}y: não contém z, então derivada 0.
  • Para yz^{2}: aqui y é constante e z^{2} depende de z. Aplicando a regra da potência:
\frac{\partial}{\partial z}(yz^{2})=y\cdot\frac{d}{dz}z^{2}=y\cdot 2z=2yz.
  • Para z^{3}: aplicar potência com n=3:
\frac{\partial}{\partial z}z^{3}=3z^{2}.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=0+2yz+3z^{2}=2yz+3z^{2}.

Passo 7

Resumo interpretativo rápido (para você usar na prova): cada termo da função é tratado separadamente; se o termo não contém a variável em que você está derivando, contribui com zero; se contém, aplica-se potência ou produto com as outras quantidades tratadas como constantes. Isso reduz bastante o trabalho em exercícios semelhantes.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=2xy
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=x^{2}+z^{2}
\dfrac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=2yz+3z^{2}

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