Considere a função integrável
dada por
. Utilize um limite de somas superiores para calcular a integral definida
.
Lembrete:
e
.
Lembrete:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de
no intervalo
usando o limite de somas superiores. Esse tipo de integral faz parte do estudo de Cálculo Integral, e para isso, vamos precisar entender como funcionam as somas de Riemann, especialmente as somas superiores.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o intervalo
em
subintervalos iguais. O comprimento de cada subintervalo (
) é dado por:
Passo 3
Em cada subintervalo, para encontrar a soma superior, precisamos identificar o maior valor que a função
atinge nesse intervalo. Como
é uma função decrescente no intervalo
, o valor máximo em cada subintervalo ocorre na extremidade esquerda.
Passo 4
Vamos expressar os pontos que dividem o intervalo. O ponto geral no
-ésimo subintervalo é:
para
.
Passo 5
O valor máximo de
no
-ésimo subintervalo é:
Passo 6
A soma superior (
) é a soma desses valores máximos multiplicados pelo comprimento de cada subintervalo:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da soma:
Elevando ao quadrado:
Então,
Passo 8
Substituindo na soma superior:
Passo 9
Simplificando a expressão dentro da soma:
Portanto,
Passo 10
Usando as fórmulas de somas:
Substituindo:
Passo 11
Agora, calculamos o limite quando
tende ao infinito:
Passo 12
Portanto, o valor da integral definida é:
Resposta
A integral definida
é igual a
.