Suponha que soluções da equação de Cauchy-Euler (linear, homogênea, de segunda ordem, com coeficientes variáveis):
a x^2 y'' + b x y' + c y = 0
sejam da forma y = x^m.
Mostre que se as raízes da equação característica forem reais e distintas, m1 ≠ m2, a solução geral da equação de Cauchy-Euler é dada por:
y(x) = C1 x^m1 + C2 x^m2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de Cauchy-Euler do segundo grau, que é do tipo:
Estamos procurando soluções que se pareçam com . A ideia é usar o conteúdo de equações diferenciais, especificamente equações de Cauchy-Euler, e a teoria de equações características para encontrar a solução geral quando as raízes são reais e diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução tem a forma . Isso significa que a gente vai substituir essa forma na equação original para encontrar o valor de .

Passo 3

Para substituir, precisamos derivar em relação a :
Essas são as derivadas primeira e segunda de .

Passo 4

Agora, vamos substituir , e na equação de Cauchy-Euler:
Simplificando cada termo:

Passo 5

Como todos os termos têm , podemos fatorar:
Como não é zero, o que temos dentro dos colchetes precisa ser zero:
Simplificando:

Passo 6

Essa é a equação característica da equação de Cauchy-Euler. Vamos chamá-la de:
Para encontrar as soluções e , resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Dado que as raízes são reais e distintas ( ), podemos escrever a solução geral como uma combinação linear das soluções individuais.

Resposta

A solução geral da equação de Cauchy-Euler, quando as raízes da equação característica são reais e distintas, é:
onde e são constantes arbitrárias, e e são as raízes da equação característica.

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