Considere a função: f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{5 x^{6}+\left(x^{7}+2 x^{6}+x^{5}\right) \operatorname{cossec} x}}{x} \text { , se } x<0 \\\ x^{2} \cos \left(\frac{1}{x}\right), \text { se } 0<x<2 \\\ \ln (x-2), \text { se } x>2 \\\\ 0, \text { se } x=0 \text { ou } x=2\end{array}\right. f é contínua em 2 ? Justifique.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
A função f\) é definida por partes:
\[f(x)=\begin{cases} \dfrac{\sqrt{5x^{6}+\bigl(x^{7}+2x^{6}+x^{5}\bigr)\operatorname{cossec}x}}{x}, & x<0,\\[6pt] x^{2}\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr), & 0<x<2,\\[4pt] \ln(x-2), & x>2,\\[4pt] 0, & x=0\\ \text{ou}\\ x=2. \end{cases}
(Peguei todas essas expressões do enunciado.)
A pergunta é: f\] é contínua em \(2? Peço para justificar a resposta.]
Passo 2
Relembrando a definição que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas):
Uma função f é contínua em um ponto a se e somente se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Isso significa que o limite quando x se aproxima de a (pela esquerda e pela direita) existe e é igual ao valor da função em a.
Em termos de limites laterais, isso equivale a exigir
\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=f(a).
Ou seja, os limites pela esquerda e pela direita devem existir e coincidir com f(a).
Vou aplicar essa verificação para a=2: calcular \lim_{x\to2^-} f(x), \lim_{x\to2^+} f(x) e comparar com f(2)=0.
Passo 3
Cálculo do limite pela esquerda: \lim_{x\to2^-} f(x).
Para x<2 (e perto de 2) usamos a expressão f(x)=x^{2}\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) (essa foi a peça do enunciado para 0<x<2).
Observação útil: as funções x\mapsto x^{2} e x\mapsto \cos\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) são cada uma contínua em x=2. Portanto o produto é contínuo em x=2 e podemos calcular o limite substituindo x=2.
Se quiser um número aproximado para intuir: \cos\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)\approx 0{,}87758, então 4\cos\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)\approx 3{,}5103. O importante é que é um número finito diferente de 0.
Passo 4
Cálculo do limite pela direita: \lim_{x\to2^+} f(x).
Para x>2 (perto de 2) usamos f(x)=\ln(x-2) (peguei isso do enunciado).
Ao aproximar x de 2 pela direita, a quantidade x-2 tende a 0^{+}. É um fato básico sobre o logaritmo natural que
\lim_{t\to 0^{+}} \ln t = -\infty.
Aplicando com t=x-2 obtemos
\lim_{x\to2^+} \ln(x-2) = -\infty.
Portanto o limite pela direita não é um número finito: diverge para -\infty. Em particular, o limite pela direita não pode ser igual a f(2)=0.
Passo 5
Comparação e conclusão:
Encontramos \lim_{x\to2^-} f(x)=4\cos\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr) (um número finito, aproximadamente 3{,}51).
Encontramos \lim_{x\to2^+} f(x)=-\infty (não existe como número finito).
A definição de continuidade exige que ambos os limites laterais existam e sejam iguais a f(2). Aqui os limites laterais nem sequer são iguais entre si (um é finito, o outro diverge) e nenhum iguala f(2)=0.