Decida se é verdadeiro ou falso as afirmações abaixo e justifique.
Se f(x)=\left\{\begin{array}{ll}5 x-3, & \text { se } x>1 \\\\ 5 x-7, & \text { se } x \leq 1\end{array}\right. então f^{\prime}(1)=5.

Passo 1

O enunciado fornece a função por partes
f(x)=\begin{cases}5x-3, & \text{se } x>1,\\[4pt] 5x-7, & \text{se } x\le 1.\end{cases}
A pergunta é: decidir se a afirmação “ \,f'(1)=5\,” é verdadeira ou falsa, com justificativa.
Informações relevantes dadas:
  • Para x>1 a expressão de f é 5x-3.
  • Para x\le 1 a expressão de f é 5x-7.
  • Pelo ramo x\le 1 temos o valor em x=1:
f(1)=5\cdot 1-7=-2.]

Passo 2

Revisando o que significa f'(1) e uma condição importante. A derivada de f em x=1 (se existir) é o limite
f'(1)=\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h},
isto é, a derivada é o limite do quociente diferencial quando h tende a zero. Para esse limite existir (e ser um número finito) é necessário que os dois limites laterais existam e sejam iguais:
\lim_{h\to 0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} \quad\text{e}\quad \lim_{h\to 0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}
devem existir e coincidir.
Outro fato importante (útil na prova): se f é diferenciável em x=1 então f é contínua em x=1. Em palavras: diferenciabilidade implica continuidade. Portanto, se f tiver uma descontinuidade em x=1, a derivada f'(1) não existe.

Passo 3

Calculemos as derivadas (ou as regras) em cada ramo (para pontos distintos de 1):
  • Para x>1, f(x)=5x-3. Esta é uma função linear; sua derivada em qualquer ponto desse ramo é
\frac{d}{dx}(5x-3)=5.
  • Para x<1, f(x)=5x-7. Também linear; sua derivada em qualquer ponto desse ramo é
\frac{d}{dx}(5x-7)=5.
Observação: isso mostra que à esquerda e à direita de 1 as regras formais dão coeficiente angular 5. Mas atenção: isso não garante que f seja diferenciável em x=1; precisamos olhar os limites laterais do quociente diferencial e a continuidade em 1.

Passo 4

Verifiquemos a continuidade em x=1 e os quocientes diferenciais laterais.
  • Primeiro os limites laterais de f em 1:
\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}(5x-7)=5\cdot 1-7=-2,
\lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}(5x-3)=5\cdot 1-3=2.
Como \lim_{x\to 1^-}f(x)=-2 e \lim_{x\to 1^+}f(x)=2, os limites laterais são diferentes. Logo f tem uma descontinuidade de salto em x=1. Em particular, f não é contínua em 1. Pelo fato mencionado no Passo 2, se f não é contínua em 1 então f não pode ser diferenciável em 1. Isso já basta para concluir que f'(1) não existe como número finito.
  • Para ver mais detalhadamente os quocientes diferenciais laterais (opcional, mas esclarecedor):
    Usando f(1)=-2,
    para h<0 (aproximação pela esquerda) temos 1+h<1 e então f(1+h)=5(1+h)-7=-2+5h. O quociente é
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(-2+5h)-(-2)}{h}=\frac{5h}{h}=5.
Assim
\lim_{h\to 0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=5.
Para h>0 (aproximação pela direita) temos 1+h>1 e então f(1+h)=5(1+h)-3=2+5h. O quociente é
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(2+5h)-(-2)}{h}=\frac{4+5h}{h}=\frac{4}{h}+5.
Quando h\to 0^+ o termo \dfrac{4}{h} diverge (vai para +\infty). Portanto
\lim_{h\to 0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}
não existe como número finito (tende a +\infty). Conclusão: o limite simétrico \lim_{h\to 0} não existe.

Passo 5

Juntando os resultados:
  • Há descontinuidade em x=1 (os limites laterais de f em 1 são -2 e 2), logo f não pode ser diferenciável em 1.
  • O quociente diferencial pela esquerda dá 5, mas pela direita diverge; portanto não existe f'(1) como número real igual a 5.
Portanto a afirmação “ f'(1)=5” é falsa.

Resposta

Falso

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