Decida se é verdadeiro ou falso as afirmações abaixo e justifique.
Se f(x)=\left\{\begin{array}{ll}5 x-3, & \text { se } x>1 \\\\ 5 x-7, & \text { se } x \leq 1\end{array}\right. então f^{\prime}(1)=5.
A pergunta é: decidir se a afirmação “\,f'(1)=5\,” é verdadeira ou falsa, com justificativa.
Informações relevantes dadas:
Para x>1 a expressão de f é 5x-3.
Para x\le 1 a expressão de f é 5x-7.
Pelo ramo x\le 1 temos o valor em x=1:
f(1)=5\cdot 1-7=-2.]
Passo 2
Revisando o que significa f'(1) e uma condição importante. A derivada de f em x=1 (se existir) é o limite
f'(1)=\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h},
isto é, a derivada é o limite do quociente diferencial quando h tende a zero. Para esse limite existir (e ser um número finito) é necessário que os dois limites laterais existam e sejam iguais:
Outro fato importante (útil na prova): se f é diferenciável em x=1 então f é contínua em x=1. Em palavras: diferenciabilidade implica continuidade. Portanto, se f tiver uma descontinuidade em x=1, a derivada f'(1) não existe.
Passo 3
Calculemos as derivadas (ou as regras) em cada ramo (para pontos distintos de 1):
Para x>1, f(x)=5x-3. Esta é uma função linear; sua derivada em qualquer ponto desse ramo é
\frac{d}{dx}(5x-3)=5.
Para x<1, f(x)=5x-7. Também linear; sua derivada em qualquer ponto desse ramo é
\frac{d}{dx}(5x-7)=5.
Observação: isso mostra que à esquerda e à direita de 1 as regras formais dão coeficiente angular 5. Mas atenção: isso não garante que f seja diferenciável em x=1; precisamos olhar os limites laterais do quociente diferencial e a continuidade em 1.
Passo 4
Verifiquemos a continuidade em x=1 e os quocientes diferenciais laterais.
Como \lim_{x\to 1^-}f(x)=-2 e \lim_{x\to 1^+}f(x)=2, os limites laterais são diferentes. Logo f tem uma descontinuidade de salto em x=1. Em particular, f não é contínua em 1. Pelo fato mencionado no Passo 2, se f não é contínua em 1 então f não pode ser diferenciável em 1. Isso já basta para concluir que f'(1) não existe como número finito.
Para ver mais detalhadamente os quocientes diferenciais laterais (opcional, mas esclarecedor):
Usando f(1)=-2,
para h<0 (aproximação pela esquerda) temos 1+h<1 e então f(1+h)=5(1+h)-7=-2+5h. O quociente é