f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
(a) z=f(x, y) é contínua em (0,0) ?
(b) Encontre \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}, para todo (x, y) \in \mathbb{R}^{2}.
(c) z=f(x, y) é diferenciável em (0,0) ? Justifique.
e pede:
(a) verificar continuidade em (0,0),
(b) calcular \partial z/\partial x e \partial z/\partial y em todo \mathbb{R}^2,
(c) decidir se f é diferenciável em (0,0).
Para isso vamos usar limites de funções de duas variáveis, definição de derivada parcial e teste de diferenciabilidade pelo erro de aproximação.]
Passo 2
Para ver se f é contínua em (0,0) calculamos \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}.
Se escolhermos a reta y=0, obtemos
Como o limite depende do caminho, não existe limite único, e portanto \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) não é igual a f(0,0)=0. Logo f não é contínua em (0,0).
Mas como \partial_xf(0,0)=\partial_yf(0,0)=0, examinamos \displaystyle \frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}
=\frac{hk}{(h^2+k^2)^{3/2}}.
Ao tomar h=k, isso vale \displaystyle \frac{h^2}{(2h^2)^{3/2}}
=\frac1{2^{3/2}\,|h|}, que diverge quando h\to0.
Logo o limite não é zero, e f não é diferenciável em (0,0).
Resposta
(a) f não é contínua em (0,0).
(b) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0, \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0;
para (x,y)\neq(0,0):