Considere a função z=f(x, y) em que
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
(a) z=f(x, y) é contínua em (0,0) ?
(b) Encontre \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}, para todo (x, y) \in \mathbb{R}^{2}.
(c) z=f(x, y) é diferenciável em (0,0) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{xy}{x^{2}+y^{2}},& (x,y)\neq(0,0),\\[1ex] 0,& (x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede:
(a) verificar continuidade em (0,0),
(b) calcular \partial z/\partial x e \partial z/\partial y em todo \mathbb{R}^2,
(c) decidir se f é diferenciável em (0,0).
Para isso vamos usar limites de funções de duas variáveis, definição de derivada parcial e teste de diferenciabilidade pelo erro de aproximação.]

Passo 2

Para ver se f é contínua em (0,0) calculamos
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}.
Se escolhermos a reta y=0, obtemos
\lim_{x\to0}\frac{x\cdot 0}{x^2+0^2}=0.
Se escolhermos a reta y=x, obtemos
\lim_{x\to0}\frac{x\cdot x}{x^2+x^2} =\lim_{x\to0}\frac{x^2}{2x^2} =\frac12\neq0.
Como o limite depende do caminho, não existe limite único, e portanto
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) não é igual a f(0,0)=0. Logo f não é contínua em (0,0).

Passo 3

Derivadas parciais em (0,0) pela definição:
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.
Para (x,y)\neq(0,0), usamos a regra do quociente sobre
\displaystyle f(x,y)=\frac{N(x,y)}{D(x,y)} com N=xy e D=x^2+y^2.
Então
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\,\partial_xN\cdot D-N\cdot\partial_xD\,}{D^2} =\frac{y\,(x^2+y^2)-xy\cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} =\frac{y\,(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2},
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{x\,(x^2+y^2)-xy\cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} =\frac{x\,(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 4

Para ser diferenciável em (0,0), precisaríamos que
\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0) -\bigl(\partial_xf(0,0)\,h+\partial_yf(0,0)\,k\bigr)} {\sqrt{h^2+k^2}} =0.
Mas como \partial_xf(0,0)=\partial_yf(0,0)=0, examinamos
\displaystyle \frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}} =\frac{hk}{(h^2+k^2)^{3/2}}.
Ao tomar h=k, isso vale
\displaystyle \frac{h^2}{(2h^2)^{3/2}} =\frac1{2^{3/2}\,|h|}, que diverge quando h\to0.
Logo o limite não é zero, e f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

(a) f não é contínua em (0,0).
(b)
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0, \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0;
para (x,y)\neq(0,0):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{y\,(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{x\,(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}.
(c) f não é diferenciável em (0,0).

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