Considere a função
(a) Determine a derivada direcional de
no ponto
na direção de
.
(b) Dado o ponto do item anterior, encontre as direções nas quais
cresce mais rapidamente e decresce mais rapidamente a partir desse ponto. Depois encontre as derivadas de
nessas direções.
(b) Dado o ponto do item anterior, encontre as direções nas quais
Passo 1
O enunciado define
e pede (a) a derivada direcional de
em
na direção de
, e (b) as direções em que
cresce e decresce mais rapidamente a partir desse ponto, com as respectivas derivadas. Para isso vamos usar o gradiente de
, vetor unitário da direção e produto escalar.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e, portanto, o gradiente
Em
isso dá
Logo
Passo 3
Para a derivada direcional na direção de
formamos o vetor unitário
Então
Passo 4
O crescimento mais rápido ocorre na direção de
. O vetor unitário correspondente é
já que
. A derivada direcional máxima vale
O decrescimento mais rápido ocorre em
, com vetor unitário
e derivada direcional
Resposta
(a)
.
(b) Direção de crescimento mais rápido com derivada
;
direção de decrescimento mais rápido com derivada
.
(b) Direção de crescimento mais rápido
direção de decrescimento mais rápido