Considere a função f(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathbf{K x}^{2}+2 x, \text { se } x<2 \\\ x^{3}-\mathbf{K} x, \text { se } x \geq 2\end{array}\right.
Determine o valor da constante \mathbf{K} para que exista o limite \lim _{x \rightarrow 2} f(x).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função por partes
f(x)= \begin{cases} Kx^{2}+2x, & x<2,\\\ x^{3}-Kx, & x\ge2, \end{cases}
e queremos que o limite \lim_{x\to2}f(x) exista. Para isso precisamos que os limites laterais em x=2 sejam iguais.

Passo 2

Calculamos o limite pela esquerda substituindo x=2 na primeira expressão:
\lim_{x\to2^-}f(x)=K\cdot2^{2}+2\cdot2=4K+4.
Pela direita usamos a segunda expressão:
\lim_{x\to2^+}f(x)=2^{3}-K\cdot2=8-2K.

Passo 3

Igualamos os dois resultados para garantir existência do limite:
4K+4=8-2K
6K=4
K=\tfrac{2}{3}.

Resposta

K=\tfrac{2}{3}

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