Considere a função f(x)=\log _{2}\left(4-x^{2}\right) e responda o que se pede
(a) Qual o domínio e a imagem de f ? Gabarito: D_{f}=\{x \in \mathbb{R} \mid-2<x<2\} e I m_{f}=(-\infty, 2].
(b) A equação f(x)=1 possui solução? Justifique sua resposta. Gabarito: A equação f(x)=1 possui solução, por 1 \in I m_{f}.
(c) f é injetora? Justifique sua resposta. Gabarito: Não, notem que f(-1)=f(1).
(d) Quanto a simetria, f é par, ímpar ou nem par, nem ímpar. Justifique sua resposta. Gabarito: f é par.
5. Faça o esboço do gráfico das funções : f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x} e g(x)=\log _{\frac{1}{4}}(x), de duas maneira difentes. A primeira levando em consideração que g(x)=f^{-1}(x), a segunda marcando pontos.

Passo 1

O enunciado trata de uma função logarítmica f(x)=\log_{2}(4-x^{2}) e pede: (a) domínio e imagem; (b) existência de solução de f(x)=1; (c) injetividade; (d) simetria; e (5) esboço dos gráficos de f(x)=(\tfrac14)^{x} e g(x)=\log_{\tfrac14}(x) por duas abordagens.

Passo 2

Para o domínio, exigimos o argumento do log positivo:
4 - x^{2} > 0
isso implica
-2 < x < 2.
Para a imagem, note que ao aproximar x\to \pm2 o argumento vai a 0^{+} e \log_{2}(0^{+})\to -\infty, e o valor máximo ocorre em x=0 com \log_{2}(4)=2. Logo
D_{f}=\{x\in\mathbb R\mid -2<x<2\}, \quad \mathrm{Im}_{f}=(-\infty,2].

Passo 3

Para resolver \log_{2}(4-x^{2})=1, escrevemos
4 - x^{2} = 2 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=2
e assim x=\pm\sqrt{2}, que satisfazem -2<x<2. Portanto a equação possui solução.

Passo 4

Uma função é injetora se valores distintos de x dão imagens distintas. Aqui
f(-x)=\log_{2}(4-(-x)^{2})=\log_{2}(4-x^{2})=f(x),
então f(-1)=f(1) e f não é injetora.

Passo 5

Como vimos em f(-x)=f(x), a função é par.

Passo 6

Primeira forma de esboçar: usar que g é inversa de f. O gráfico de f(x)=(\tfrac14)^{x} (decrescente, assíntota horizontal y=0) reflete-se na reta y=x para gerar g(x)=\log_{\tfrac14}(x) (decrescente, assíntota vertical x=0).

Passo 7

Segunda forma: marcar pontos notáveis. Para f(x)=(\tfrac14)^{x}:
f(-2)=16,\;f(0)=1,\;f(2)=\tfrac1{16},
e construir curva que passa por (-2,16),(0,1),(2,\tfrac1{16}).
Para g(x)=\log_{\tfrac14}(x), invertemos pares:
g(16)=-2,\;g(1)=0,\;g(\tfrac1{16})=2,
e desenhamos curva decrescente com esses pontos e assíntota vertical x=0.

Resposta

(a) D_{f}=\{x\in\mathbb R\mid -2<x<2\}, \mathrm{Im}_{f}=(-\infty,2].
(b) Sim, as soluções são x=\pm\sqrt{2}.
(c) Não é injetora, pois f(-1)=f(1).
(d) É par.
5. Esboços de
f) f(x)=(\tfrac14)^{x}: decrescente, assíntota y=0, pontos (-2,16),(0,1),(2,\tfrac1{16}).
g) g(x)=\log_{\tfrac14}(x): decrescente, assíntota x=0, pontos (16,-2),(1,0),(\tfrac1{16},2), obtido também por reflexão de f na reta y=x.

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