Considere a função
e responda o que se pede
(a) Qual o domínio e a imagem de
? Gabarito:
e
.
(b) A equação
possui solução? Justifique sua resposta. Gabarito: A equação
possui solução, por
.
(c)
é injetora? Justifique sua resposta. Gabarito: Não, notem que
.
(d) Quanto a simetria,
é par, ímpar ou nem par, nem ímpar. Justifique sua resposta. Gabarito:
é par.
5. Faça o esboço do gráfico das funções :
e
, de duas maneira difentes. A primeira levando em consideração que
, a segunda marcando pontos.
(a) Qual o domínio e a imagem de
(b) A equação
(c)
(d) Quanto a simetria,
5. Faça o esboço do gráfico das funções :
Passo 1
O enunciado trata de uma função logarítmica
e pede: (a) domínio e imagem; (b) existência de solução de
; (c) injetividade; (d) simetria; e (5) esboço dos gráficos de
e
por duas abordagens.
Passo 2
Para o domínio, exigimos o argumento do log positivo:
isso implica
Para a imagem, note que ao aproximar
o argumento vai a
e
, e o valor máximo ocorre em
com
. Logo
Passo 3
Para resolver
, escrevemos
e assim
, que satisfazem
. Portanto a equação possui solução.
Passo 4
Uma função é injetora se valores distintos de
dão imagens distintas. Aqui
então
e
não é injetora.
Passo 5
Como vimos em
, a função é par.
Passo 6
Primeira forma de esboçar: usar que
é inversa de
. O gráfico de
(decrescente, assíntota horizontal
) reflete-se na reta
para gerar
(decrescente, assíntota vertical
).
Passo 7
Segunda forma: marcar pontos notáveis. Para
:
e construir curva que passa por
.
Para , invertemos pares:
Para
e desenhamos curva decrescente com esses pontos e assíntota vertical
.
Resposta
(a)
,
.
(b) Sim, as soluções são .
(c) Não é injetora, pois .
(d) É par.
5. Esboços de
f) : decrescente, assíntota
, pontos
.
g) : decrescente, assíntota
, pontos
, obtido também por reflexão de
na reta
.
(b) Sim, as soluções são
(c) Não é injetora, pois
(d) É par.
5. Esboços de
f)
g)