Qual o domínio da função f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-4}}+\frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}} ? Gabarito: \{x \in \mathbb{R} \mid-3<x< -2 ou 2<x<3\}.

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-4}}+\frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}.
Este é um problema de domínio de função com radicais no denominador: precisamos garantir que cada radicando seja estritamente positivo (pois não podemos ter zero nem negativo dentro da raiz) e que o denominador não se anule.

Passo 2

Para o primeiro termo \tfrac{x}{\sqrt{x^{2}-4}}, exigimos
x^{2}-4>0.
Resolvendo:
x^{2}>4\quad\Longrightarrow\quad x< -2\quad\text{ou}\quad x>2.

Passo 3

Para o segundo termo \tfrac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}, exigimos
9-x^{2}>0.
Resolvendo:
x^{2}<9\quad\Longrightarrow\quad -3<x<3.

Passo 4

O domínio de f é a intersecção das duas condições encontradas:
\bigl((-\infty,-2)\cup(2,\infty)\bigr)\;\cap\;(-3,3) \;=\;(-3,-2)\;\cup\;(2,3).

Resposta

\{\,x\in\mathbb{R}\mid -3<x<-2\text{ ou }2<x<3\}

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