Considere a função que modela a resistência térmica de um piso:
Calcule a derivada direcional no ponto
na direção de
(normalizado). Explique o significado físico.
Passo 1
O enunciado dá:
o ponto
e a direção dada pelo vetor
(pede-se a versão normalizada).
Perguntas que o problema faz:
Perguntas que o problema faz:
- Calcular a derivada direcional de
em na direção de normalizado. - Explicar o significado físico desse valor.
Passo 2
O que é a derivada direcional e como a vamos calcular (aula curta e prática).
A derivada direcional de uma função no ponto
na direção de um vetor unitário
mede a taxa instantânea de variação de
quando nos deslocamos a partir de
no sentido de
, por unidade de comprimento deslocado. A fórmula prática é
A derivada direcional de uma função
onde
é o gradiente de
e
é o produto escalar (dot product).
Explicando os termos:
Explicando os termos:
-
é o vetor formado pelas derivadas parciais de avaliadas em ; ele aponta na direção de máximo crescimento de e seu comprimento é a inclinação máxima. -
é o vetor de direção normalizado (comprimento ). - O produto escalar
dá a componente do gradiente ao longo da direção , isto é, a taxa de variação de por unidade de deslocamento naquela direção.
Passo 3
Calcular o gradiente
.
As derivadas parciais são
As derivadas parciais são
Portanto o gradiente é
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
.
Substituindo e
:
Substituindo
Passo 5
Normalizar o vetor de direção
.
O comprimento de é
O comprimento de
O vetor unitário correspondente é
(Importante: devemos usar o vetor unitário porque a derivada direcional é por unidade de deslocamento.)
Passo 6
Calcular a derivada direcional pelo produto escalar.
Usando e
,
Usando
Em valor aproximado,
Passo 7
Interpretação física (didática e com exemplo numérico):
- O número
representa quanto a resistência térmica aumenta (positivo) por cada unidade de comprimento que eu me mova a partir de na direção de (após normalizar). - Como o valor é positivo, a resistência térmica aumenta ao mover-se nessa direção; o valor
significa que um deslocamento pequeno de comprimento nessa direção provoca um aumento aproximado de igual a .
Exemplo: se eu andarunidades no sentido de , a variação aproximada de será .
Resposta
A derivada direcional indica que a resistência térmica aumenta à taxa de