Considere a função que modela a resistência térmica de um piso:
R(x, y)=x^{2}+2 y^{2}
Calcule a derivada direcional no ponto P(1,2) na direção de \vec{u}=(-1,2) (normalizado). Explique o significado físico.

Passo 1

O enunciado dá:
R(x,y)=x^{2}+2y^{2}
o ponto P(1,2) e a direção dada pelo vetor \vec{u}=(-1,2) (pede-se a versão normalizada).
Perguntas que o problema faz:
  1. Calcular a derivada direcional de R em P na direção de \vec{u} normalizado.
  2. Explicar o significado físico desse valor.

Passo 2

O que é a derivada direcional e como a vamos calcular (aula curta e prática).
A derivada direcional de uma função R(x,y) no ponto P na direção de um vetor unitário \mathbf{\hat u} mede a taxa instantânea de variação de R quando nos deslocamos a partir de P no sentido de \mathbf{\hat u}, por unidade de comprimento deslocado. A fórmula prática é
D_{\mathbf{\hat u}}R(P)=\nabla R(P)\cdot\mathbf{\hat u},
onde \nabla R é o gradiente de R e \cdot é o produto escalar (dot product).
Explicando os termos:
  • \nabla R(P) é o vetor formado pelas derivadas parciais de R avaliadas em P; ele aponta na direção de máximo crescimento de R e seu comprimento é a inclinação máxima.
  • \mathbf{\hat u} é o vetor de direção normalizado (comprimento 1).
  • O produto escalar \nabla R(P)\cdot\mathbf{\hat u} dá a componente do gradiente ao longo da direção \mathbf{\hat u}, isto é, a taxa de variação de R por unidade de deslocamento naquela direção.

Passo 3

Calcular o gradiente \nabla R.
As derivadas parciais são
\frac{\partial R}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial R}{\partial y}=4y.
Portanto o gradiente é
\displaystyle \nabla R(x,y)=(2x,\;4y).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto P(1,2).
Substituindo x=1 e y=2:
\nabla R(1,2)=(2\cdot 1,\;4\cdot 2)=(2,\;8).

Passo 5

Normalizar o vetor de direção \vec{u}=(-1,2).
O comprimento de \vec{u} é
\|\vec{u}\|=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.
O vetor unitário correspondente é
\mathbf{\hat u}=\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}=\left(-\frac{1}{\sqrt{5}},\;\frac{2}{\sqrt{5}}\right).
(Importante: devemos usar o vetor unitário porque a derivada direcional é por unidade de deslocamento.)

Passo 6

Calcular a derivada direcional pelo produto escalar.
Usando \nabla R(1,2)=(2,8) e \mathbf{\hat u}=(-1/\sqrt{5},\,2/\sqrt{5}),
D_{\mathbf{\hat u}}R(1,2)= (2,8)\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = \frac{2\cdot(-1)+8\cdot 2}{\sqrt{5}} = \frac{-2+16}{\sqrt{5}} = \frac{14}{\sqrt{5}}.
Em valor aproximado,
\frac{14}{\sqrt{5}}\approx 6,26.

Passo 7

Interpretação física (didática e com exemplo numérico):
  • O número D_{\mathbf{\hat u}}R(1,2)=\dfrac{14}{\sqrt{5}} representa quanto a resistência térmica R aumenta (positivo) por cada unidade de comprimento que eu me mova a partir de P na direção de \vec{u} (após normalizar).
  • Como o valor é positivo, a resistência térmica aumenta ao mover-se nessa direção; o valor \approx 6,26 significa que um deslocamento pequeno de comprimento \Delta s nessa direção provoca um aumento aproximado de R igual a 6,26\cdot\Delta s.
    Exemplo: se eu andar 0{,}1 unidades no sentido de \mathbf{\hat u}, a variação aproximada de R será 0{,}1\cdot 6,26\approx 0{,}626.

Resposta

\dfrac{14}{\sqrt{5}}
A derivada direcional indica que a resistência térmica aumenta à taxa de \dfrac{14}{\sqrt{5}} unidades de R por unidade de comprimento quando nos deslocamos a partir de P(1,2) na direção de \vec{u}=(-1,2) (normalizado).

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