Seja
o operador diferencial linear definido por
onde
são constantes reais.
Encontre
.
Passo 1
O enunciado fornece o operador linear diferencial
onde
são constantes reais, e pede para encontrar
. Vou interpretar aqui, de forma padrão em problemas desse tipo, que a função exponencial é
(isto é,
é uma constante e a função depende da variável
). As informações relevantes que temos são:
- Os coeficientes
são constantes reais. - A função que vamos aplicar ao operador é
com constante. - Precisamos calcular
para essa , ou seja, .
Passo 2
Vamos estudar como derivar
. Isto é fundamental porque
envolve derivadas até a ordem
.
Regra chave (Regra da cadeia): se
, então
. No nosso caso
, logo
(pois
é constante). Portanto
Agora calcule a segunda derivada derivando de novo:
Repare o padrão: cada derivada multiplica por mais um fator
. Assim a terceira derivada é
, e assim por diante. Por indução (ou observando o padrão), para todo inteiro
vale
Explicando a indução de forma curta: já temos base
(
) e, se
, então
Portanto a fórmula está provada.
Passo 3
Agora substituímos essas derivadas na expressão do operador
. Lembre que
Para
temos
. Substituindo termo a termo:
Passo 4
Agora fatoramos
(é comum a todos os termos):
É útil definir o polinômio característico (num contexto de equações diferenciais) como
Com essa notação fica bem compacto:
Passo 5
Interpretação prática (útil para a prova): isso mostra que aplicar um operador linear com coeficientes constantes a uma exponencial
apenas multiplica essa exponencial por um polinômio em
. Consequência imediata: se
então
, ou seja,
é solução da equação homogênea
. Isso é a base do método de procurar soluções da forma
para equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
Exemplo rápido para fixar: se
então
. Assim
Se escolhermos
ou
(raízes de
), então
.