Seja L o operador diferencial linear definido por
L|y|=a_{0} y^{(n)}+a_{1} y^{(n-1)}+\cdots+a_{n} y,onde a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n} são constantes reais.
Encontre L\left[e^{r}\right].

Passo 1

O enunciado fornece o operador linear diferencial
L[y]=a_{0} y^{(n)}+a_{1} y^{(n-1)}+\cdots+a_{n} y,
onde a_{0},a_{1},\dots,a_{n} são constantes reais, e pede para encontrar L\left[e^{r}\right]. Vou interpretar aqui, de forma padrão em problemas desse tipo, que a função exponencial é e^{r x} (isto é, r é uma constante e a função depende da variável x). As informações relevantes que temos são:
  • Os coeficientes a_{0},a_{1},\dots,a_{n} são constantes reais.
  • A função que vamos aplicar ao operador é y(x)=e^{r x} com r constante.
  • Precisamos calcular L[y] para essa y, ou seja, L[e^{r x}].

Passo 2

Vamos estudar como derivar y(x)=e^{r x}. Isto é fundamental porque L envolve derivadas até a ordem n.
Regra chave (Regra da cadeia): se y(x)=e^{u(x)}, então y'(x)=u'(x)\,e^{u(x)}. No nosso caso u(x)=r x, logo u'(x)=r (pois r é constante). Portanto
y'(x)=r e^{r x}.
Agora calcule a segunda derivada derivando de novo:
y''(x)=(r e^{r x})' = r (e^{r x})' = r \cdot r e^{r x} = r^{2} e^{r x}.
Repare o padrão: cada derivada multiplica por mais um fator r. Assim a terceira derivada é y^{(3)}(x)=r^{3} e^{r x}, e assim por diante. Por indução (ou observando o padrão), para todo inteiro k\ge 0 vale
y^{(k)}(x)=r^{k} e^{r x}.
Explicando a indução de forma curta: já temos base k=0 ( y^{(0)}=e^{r x} ) e, se y^{(k)}=r^{k}e^{r x}, então
y^{(k+1)}=(r^{k}e^{r x})' = r^{k} (e^{r x})' = r^{k}\cdot r e^{r x} = r^{k+1} e^{r x}.
Portanto a fórmula está provada.

Passo 3

Agora substituímos essas derivadas na expressão do operador L. Lembre que
L[y]=a_{0} y^{(n)}+a_{1} y^{(n-1)}+\cdots+a_{n} y.
Para y=e^{r x} temos y^{(k)}=r^{k} e^{r x}. Substituindo termo a termo:
L[e^{r x}] = a_{0}\,r^{n} e^{r x} + a_{1}\,r^{n-1} e^{r x} + \cdots + a_{n}\,r^{0} e^{r x}.

Passo 4

Agora fatoramos e^{r x} (é comum a todos os termos):
L[e^{r x}] = \bigl(a_{0} r^{n} + a_{1} r^{n-1} + \cdots + a_{n}\bigr)\, e^{r x}.
É útil definir o polinômio característico (num contexto de equações diferenciais) como
p(r)=a_{0} r^{n} + a_{1} r^{n-1} + \cdots + a_{n}.
Com essa notação fica bem compacto:
L[e^{r x}] = p(r)\, e^{r x}.

Passo 5

Interpretação prática (útil para a prova): isso mostra que aplicar um operador linear com coeficientes constantes a uma exponencial e^{r x} apenas multiplica essa exponencial por um polinômio em r. Consequência imediata: se p(r)=0 então L[e^{r x}]=0, ou seja, e^{r x} é solução da equação homogênea L[y]=0. Isso é a base do método de procurar soluções da forma e^{r x} para equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
Exemplo rápido para fixar: se L[y]=y''-3y'+2y então p(r)=r^{2}-3r+2. Assim
L[e^{r x}] = (r^{2}-3r+2)\,e^{r x}.
Se escolhermos r=1 ou r=2 (raízes de p), então L[e^{r x}]=0.

Resposta

L[e^{r x}] = \bigl(a_{0} r^{n} + a_{1} r^{n-1} + \cdots + a_{n}\bigr)\, e^{r x}

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