Considere a função g(x, y)=e^2 x^2-2 y^2.
Mostre que g é diferenciável em todos os pontos de seu domínio.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
gcolonR^2toR, g(x,y)=e^2x^2-2y^2
é diferenciável em todo ponto do seu domínio.
Conteúdo: diferenciabilidade por composição de funções diferenciáveis e existência de derivadas parciais contínuas.

Passo 2

Observe que podemos ver g como composição
ucolonR^2toR, u(x,y)=2x^2-2y^2,
seguida de
vcolonRtoR, v(t)=e^t,
de modo que
g(x,y)=(vcirc u)(x,y)=vl(u(x,y)r)

Passo 3

A função u(x,y)=2x^2-2y^2 é polinomial em x,y. Sabemos que polinômios são C^infty, logo têm derivadas parciais de todas as ordens e estas são contínuas. Em particular
partial upartial x(x,y)=4x, partial upartial y(x,y)=-4y,
são funções contínuas em R^2. Assim, u é diferenciável em todo ponto.

Passo 4

A função v(t)=e^t é a exponencial real, que conhecemos como C^infty em R. Sua derivada é
v'(t)=e^t,
que é contínua. Portanto v é diferenciável em todo tinR.

Passo 5

Pelo teorema da cadeia, a composição de funções diferenciáveis é diferenciável. Como u é diferenciável em R^2 e v é diferenciável em R, segue que
g=vcirc u
é diferenciável em todo R^2.

Passo 6

Para reforçar, podemos escrever explicitamente o gradiente de g. Usando a regra da cadeia:
partial gpartial x(x,y) =v'l(u(x,y)r),partial upartial x(x,y) =e^2x^2-2y^2cdot 4x
partial gpartial y(x,y) =v'l(u(x,y)r),partial upartial y(x,y) =e^2x^2-2y^2cdot(-4y)
essas derivadas parciais existem e são contínuas em todo R^2, o que também garante a diferenciabilidade.

Resposta

A função g(x,y)=e^2x^2-2y^2 é diferenciável em todos os pontos de R^2.

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