Considere a função
.
Mostre que
é diferenciável em todos os pontos de seu domínio.
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é diferenciável em todo ponto do seu domínio.
Conteúdo: diferenciabilidade por composição de funções diferenciáveis e existência de derivadas parciais contínuas.
Conteúdo: diferenciabilidade por composição de funções diferenciáveis e existência de derivadas parciais contínuas.
Passo 2
Observe que podemos ver
como composição
seguida de
de modo que
Passo 3
A função
é polinomial em
. Sabemos que polinômios são
, logo têm derivadas parciais de todas as ordens e estas são contínuas. Em particular
são funções contínuas em
. Assim,
é diferenciável em todo ponto.
Passo 4
A função
é a exponencial real, que conhecemos como
em
. Sua derivada é
que é contínua. Portanto
é diferenciável em todo
.
Passo 5
Pelo teorema da cadeia, a composição de funções diferenciáveis é diferenciável. Como
é diferenciável em
e
é diferenciável em
, segue que
é diferenciável em todo
.
Passo 6
Para reforçar, podemos escrever explicitamente o gradiente de
. Usando a regra da cadeia:
essas derivadas parciais existem e são contínuas em todo
, o que também garante a diferenciabilidade.
Resposta
A função
é diferenciável em todos os pontos de
.