Dê o domínio e esboce o gráfico.
y=2x+1

Passo 1

O enunciado pede o domínio e o esboço do gráfico da função racional
y = 2x + 1
Vamos usar conceitos de função racional: identificar valores que anulam o denominador (para o domínio), achar assíntotas (vertical e horizontal) e alguns pontos de referência para traçar o formato de hipérbole.

Passo 2

Para o domínio, exigimos que o denominador não seja zero. Temos
x + 1 neq 0 Longrightarrow x neq -1
Portanto o domínio é
,xinRmid x neq -1
ou, em notação de intervalos,
(-infty,-1)cup(-1,infty)

Passo 3

A assíntota vertical ocorre quando o denominador tende a zero sem que o numerador anule. Logo, há assíntota vertical em
x = -1
A assíntota horizontal para grandes lvert xrvert é dada pelo termo de menor grau no numerador dividido pelo termo de maior grau no denominador, ou seja
y = 0

Passo 4

Escolhemos alguns pontos para guiar o traço:
x=0&;Longrightarrow;y=tfrac20+1=2, x=1&;Longrightarrow;y=tfrac21+1=1, x=-2&;Longrightarrow;y=tfrac2-2+1=-2

Passo 5

Analisando o comportamento em cada região do domínio:
  • Para x>-1, o quociente é positivo e decresce de +infty (quando xto -1^+) até 0^+ (quando xto+infty).
  • Para x<-1, o quociente é negativo e cresce de -infty (quando xto -1^-) até 0^- (quando xto -infty).

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • Desenhe a reta vertical x=-1 e a reta horizontal y=0 como assíntotas tracejadas.
  • No ramo direito ( x>-1), marque os pontos (0,2) e (1,1) e faça uma curva hiperbólica que vai de +infty próximo a x=-1 até se aproximar de y=0.
  • No ramo esquerdo ( x<-1), marque o ponto (-2,-2) e faça a curva que sai de -infty perto de x=-1 e se aproxima de y=0 conforme xto -infty.

Resposta

Domínio: (-infty,-1)cup(-1,infty).
Gráfico: hipérbole com assíntotas x=-1 e y=0, ramo positivo para x>-1 passando por (0,2), (1,1) e ramo negativo para x<-1 passando por (-2,-2).

Exercícios relacionados