- Considere a função
.
(a) Verifique que
é derivável em qualquer
e ache uma expressão para a derivada.
(b) Encontre o ponto
onde a tangente ao gráfico de
é horizontal.
(c) Encontre o ponto
onde o ângulo da tangente ao gráfico de
com o eixo
é
.
(a) Verifique que
(b) Encontre o ponto
(c) Encontre o ponto
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: (a) mostrar que
é derivável em todo
e achar
; (b) o ponto onde a reta tangente é horizontal
; (c) o ponto onde essa reta faz
com o eixo
, isto é, onde
. Para isso usaremos a definição de derivada de função composta com valor absoluto e depois resolveremos equações algébricas simples.
Passo 2
Como
Para
. Para
temos
Em
calculamos os dois limites laterais:
então existe derivada em
e vale zero.
Podemos resumir em uma única fórmula usando o sinal de :
Podemos resumir em uma única fórmula usando o sinal de
Passo 3
Para achar o ponto de tangente horizontal igualamos
Isto ocorre só quando
, ou seja
. O valor de
nesse ponto é
Logo o ponto procurado é
.
Passo 4
Para achar o ponto onde a inclinação vale
resolvemos
Escreva
. Se
então a equação vira
, ou seja
, de onde
Assim
. Como
, este
está em
e vale para nossa fórmula. O valor de
é
Portanto o ponto buscado é
Resposta
(a)
derivável em todo
.
(b) .
(c) .
(b)
(c)