1. Considere a função f(x)=|x+2|^{3}.
    (a) Verifique que f é derivável em qualquer x e ache uma expressão para a derivada.
    (b) Encontre o ponto P_{0} onde a tangente ao gráfico de f é horizontal.
    (c) Encontre o ponto P_{0} onde o ângulo da tangente ao gráfico de f com o eixo x é 60^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\lvert x+2\rvert^{3}
e pede: (a) mostrar que f é derivável em todo x e achar f'(x); (b) o ponto onde a reta tangente é horizontal f'(x)=0; (c) o ponto onde essa reta faz 60^\circ com o eixo x, isto é, onde f'(x)=\tan(60^\circ)=\sqrt{3}. Para isso usaremos a definição de derivada de função composta com valor absoluto e depois resolveremos equações algébricas simples.

Passo 2

Como \lvert x+2\rvert\) troca a expressão conforme o sinal de \(x+2\), escrevemos \[f(x)= \begin{cases} (x+2)^3, & x+2\ge0,\\\ \bigl(-(x+2)\bigr)^3=-(x+2)^3, & x+2<0. \end{cases}
Para x>-2\] temos \(f'(x)=3(x+2)^2. Para x<-2 temos
f'(x)=-3(x+2)^2.
Em x=-2 calculamos os dois limites laterais:
\lim_{x\to-2^+}f'(x)=3\cdot0^2=0, \quad \lim_{x\to-2^-}f'(x)=-3\cdot0^2=0,
então existe derivada em x=-2 e vale zero.
Podemos resumir em uma única fórmula usando o sinal de x+2:
f'(x)=3(x+2)\,\lvert x+2\rvert.

Passo 3

Para achar o ponto de tangente horizontal igualamos
f'(x)=3(x+2)\,\lvert x+2\rvert=0.
Isto ocorre só quando x+2=0, ou seja x=-2. O valor de f nesse ponto é
f(-2)=\lvert -2+2\rvert^3=0.
Logo o ponto procurado é P_0=(-2,0).

Passo 4

Para achar o ponto onde a inclinação vale \sqrt{3} resolvemos
3(x+2)\,\lvert x+2\rvert=\sqrt{3}.
Escreva u=x+2. Se u\ge0 então a equação vira 3u^2=\sqrt{3}, ou seja u^2=1/\sqrt{3}, de onde
u=3^{-1/4}\quad(\text{descartamos }u<0).
Assim x=3^{-1/4}-2. Como u>0, este x está em x>-2 e vale para nossa fórmula. O valor de f é
f(x)=u^3=(3^{-1/4})^3=3^{-3/4}.
Portanto o ponto buscado é
P_0=\bigl(3^{-1/4}-2,\;3^{-3/4}\bigr).

Resposta

(a)
f'(x)=3(x+2)\,\lvert x+2\rvert,
derivável em todo x.
(b) P_0=(-2,0).
(c) P_0=\bigl(3^{-1/4}-2,\;3^{-3/4}\bigr).

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