Considere a função \phi_{\epsilon}\left(t-t_{0}\right) definida a partir da função \varphi(t). Demonstre que, para qualquer função contínua h(t), a integral de \phi_{\epsilon}\left(t-t_{0}\right) h(t) de -\infty a +\infty converge para h\left(t_{0}\right) quando \epsilon tende a zero.
converge para h\bigl(t_{0}\bigr) quando \epsilon\to0. Vou trabalhar com a forma padrão de uma família aproximadora da identidade: suponha que exista uma função \varphi com as propriedades abaixo (estas são as hipóteses usuais e necessárias para o resultado):
Também vou supor que h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua em t_{0} e é limitada (isto é, existe M>0 com |h(t)|\le M para todo t). Estas hipóteses são as que costumam acompanhar o enunciado implícito. O objetivo é provar
Então basta mostrar que o membro direito tende a 0 quando \epsilon\to0.
Passo 4
Use a continuidade de h em t_{0}. Dado qualquer \eta>0 existe \delta>0 tal que, para todo t com |t-t_{0}|<\delta,
|h(t)-h(t_{0})|<\eta.
Isto é a definição de continuidade em t_{0}. Vou dividir a integral em duas partes: uma em torno de t_{0} (onde h fica próxima de h(t_{0})) e outra fora desse intervalo (a “cauda”).
Como \varphi\in L^{1}(\mathbb{R}), a medida da cauda \int_{|u|\ge R}\varphi(u)\,du tende a 0 quando R\to+\infty. Tomando R=\delta/\epsilon, quando \epsilon\to0 tem-se R\to+\infty e portanto
\int_{|u|\ge\delta/\epsilon}\varphi(u)\,du\to 0.
Consequentemente, para \epsilon pequeno o fator \int_{|t-t_{0}|\ge\delta}\phi_{\epsilon}(t-t_{0})\,dt é arbitrariamente pequeno, e então I_{2}(\epsilon)\to0 quando \epsilon\to0.
Passo 8
Agora reúno as estimativas. Dado \eta>0 escolhi \delta pela continuidade de h em t_{0} de modo que |I_{1}(\epsilon)|\le\eta para todo \epsilon. Em seguida, como a cauda de \varphi tende a zero, existe \epsilon_{0} tal que para 0<\epsilon<\epsilon_{0} vale |I_{2}(\epsilon)|\le\eta. Logo para 0<\epsilon<\epsilon_{0} temos
Isto é, a família \phi_{\epsilon} atua como uma aproximadora da identidade: a convolução com uma função contínua e limitada recupera o valor pontual no limite.