Considere a função \phi_{\epsilon}\left(t-t_{0}\right) definida a partir da função \varphi(t). Demonstre que, para qualquer função contínua h(t), a integral de \phi_{\epsilon}\left(t-t_{0}\right) h(t) de -\infty a +\infty converge para h\left(t_{0}\right) quando \epsilon tende a zero.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que a integral
\int_{-\infty}^{+\infty}\phi_{\epsilon}\bigl(t-t_{0}\bigr)\,h(t)\,dt
converge para h\bigl(t_{0}\bigr) quando \epsilon\to0. Vou trabalhar com a forma padrão de uma família aproximadora da identidade: suponha que exista uma função \varphi com as propriedades abaixo (estas são as hipóteses usuais e necessárias para o resultado):
\varphi\in L^{1}(\mathbb{R}),\qquad \varphi\ge 0,\qquad \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(s)\,ds=1,
e que \phi_{\epsilon} é a versão escalada dada por
\phi_{\epsilon}(s)=\frac{1}{\epsilon}\,\varphi\!\left(\frac{s}{\epsilon}\right).
Também vou supor que h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua em t_{0} e é limitada (isto é, existe M>0 com |h(t)|\le M para todo t). Estas hipóteses são as que costumam acompanhar o enunciado implícito. O objetivo é provar
\lim_{\epsilon\to0}\int_{-\infty}^{+\infty}\phi_{\epsilon}\bigl(t-t_{0}\bigr)\,h(t)\,dt=h(t_{0}).

Passo 2

Primeiro mostro uma propriedade útil de \phi_{\epsilon}: sua integral é 1. Faço a mudança de variável u=\dfrac{s}{\epsilon} e obtenho
\int_{-\infty}^{+\infty}\phi_{\epsilon}(s)\,ds=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\epsilon}\,\varphi\!\left(\frac{s}{\epsilon}\right)\,ds=\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(u)\,du=1.
Isto será usado para “separar” o termo h(t_{0}) da integral.

Passo 3

Reescrevo a diferença entre a integral desejada e h(t_{0}):
\int_{-\infty}^{+\infty}\phi_{\epsilon}\bigl(t-t_{0}\bigr)\,h(t)\,dt - h(t_{0}) =\int_{-\infty}^{+\infty}\phi_{\epsilon}\bigl(t-t_{0}\bigr)\bigl(h(t)-h(t_{0})\bigr)\,dt,
pois usei que \int\phi_{\epsilon}=1 e então
h(t_{0})\int_{-\infty}^{+\infty}\phi_{\epsilon}\bigl(t-t_{0}\bigr)\,dt=h(t_{0}).
Então basta mostrar que o membro direito tende a 0 quando \epsilon\to0.

Passo 4

Use a continuidade de h em t_{0}. Dado qualquer \eta>0 existe \delta>0 tal que, para todo t com |t-t_{0}|<\delta,
|h(t)-h(t_{0})|<\eta.
Isto é a definição de continuidade em t_{0}. Vou dividir a integral em duas partes: uma em torno de t_{0} (onde h fica próxima de h(t_{0})) e outra fora desse intervalo (a “cauda”).

Passo 5

Faço a decomposição
\int_{-\infty}^{+\infty}\phi_{\epsilon}\bigl(t-t_{0}\bigr)\bigl(h(t)-h(t_{0})\bigr)\,dt =I_{1}(\epsilon)+I_{2}(\epsilon)
onde
I_{1}(\epsilon)=\int_{|t-t_{0}|<\delta}\phi_{\epsilon}\bigl(t-t_{0}\bigr)\bigl(h(t)-h(t_{0})\bigr)\,dt
e
I_{2}(\epsilon)=\int_{|t-t_{0}|\ge\delta}\phi_{\epsilon}\bigl(t-t_{0}\bigr)\bigl(h(t)-h(t_{0})\bigr)\,dt.

Passo 6

Estimo I_{1}(\epsilon). Pelo fato de |h(t)-h(t_{0})|<\eta em |t-t_{0}|<\delta, temos
|I_{1}(\epsilon)|\le \eta\int_{|t-t_{0}|<\delta}\phi_{\epsilon}\bigl(t-t_{0}\bigr)\,dt \le \eta\int_{-\infty}^{+\infty}\phi_{\epsilon}\bigl(t-t_{0}\bigr)\,dt=\eta.
Portanto I_{1}(\epsilon) pode ser tornada arbitrariamente pequena (menor que \eta) independentemente de \epsilon.

Passo 7

Estimo I_{2}(\epsilon). Usando a hipótese de que h é limitada por M obtemos
|h(t)-h(t_{0})|\le |h(t)|+|h(t_{0})|\le 2M.
Assim
|I_{2}(\epsilon)|\le 2M\int_{|t-t_{0}|\ge\delta}\phi_{\epsilon}\bigl(t-t_{0}\bigr)\,dt.
Faço a mudança de variável s=t-t_{0} e depois u=\dfrac{s}{\epsilon} para a integral da cauda:
\int_{|t-t_{0}|\ge\delta}\phi_{\epsilon}\bigl(t-t_{0}\bigr)\,dt =\int_{|s|\ge\delta}\frac{1}{\epsilon}\varphi\!\left(\frac{s}{\epsilon}\right)\,ds =\int_{|u|\ge\delta/\epsilon}\varphi(u)\,du.
Como \varphi\in L^{1}(\mathbb{R}), a medida da cauda \int_{|u|\ge R}\varphi(u)\,du tende a 0 quando R\to+\infty. Tomando R=\delta/\epsilon, quando \epsilon\to0 tem-se R\to+\infty e portanto
\int_{|u|\ge\delta/\epsilon}\varphi(u)\,du\to 0.
Consequentemente, para \epsilon pequeno o fator \int_{|t-t_{0}|\ge\delta}\phi_{\epsilon}(t-t_{0})\,dt é arbitrariamente pequeno, e então I_{2}(\epsilon)\to0 quando \epsilon\to0.

Passo 8

Agora reúno as estimativas. Dado \eta>0 escolhi \delta pela continuidade de h em t_{0} de modo que |I_{1}(\epsilon)|\le\eta para todo \epsilon. Em seguida, como a cauda de \varphi tende a zero, existe \epsilon_{0} tal que para 0<\epsilon<\epsilon_{0} vale |I_{2}(\epsilon)|\le\eta. Logo para 0<\epsilon<\epsilon_{0} temos
\left|\int_{-\infty}^{+\infty}\phi_{\epsilon}\bigl(t-t_{0}\bigr)\bigl(h(t)-h(t_{0})\bigr)\,dt\right| \le |I_{1}(\epsilon)|+|I_{2}(\epsilon)|\le 2\eta.
Como \eta>0 era arbitrário, isso mostra que a diferença tende a 0 quando \epsilon\to0.

Passo 9

Concluímos que
\lim_{\epsilon\to0}\int_{-\infty}^{+\infty}\phi_{\epsilon}\bigl(t-t_{0}\bigr)\,h(t)\,dt=h(t_{0}).
Isto é, a família \phi_{\epsilon} atua como uma aproximadora da identidade: a convolução com uma função contínua e limitada recupera o valor pontual no limite.

Resposta

\lim_{\epsilon\to0}\int_{-\infty}^{+\infty}\phi_{\epsilon}\bigl(t-t_{0}\bigr)\,h(t)\,dt=h(t_{0}).

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