Considere a função de produção Cobb-Douglas P(L, K)=1.5 L^{0.7} K^{0.3} :
(a) Calcule a produtividade marginal do trabalho quando L=100 e K=50
(b) Aproxime a variação na produção se L aumenta para 103 e K diminui para 48

Passo 1

O enunciado dá a função de produção Cobb-Douglas
P(L,K)=1.5\,L^{0.7}K^{0.3}
e pede:
(a) a produtividade marginal do trabalho em L=100, K=50, isto é \partial P/\partial L nesse ponto;
(b) a variação aproximada da produção se L passar para 103 e K para 48, usando a aproximação linear por diferenciais. Para resolver, vamos precisar calcular derivadas parciais e aplicar a fórmula
\Delta P\approx P_L\,\Delta L + P_K\,\Delta K.

Passo 2

Vamos achar a derivada parcial em relação a L. Usando a regra de potência,
\frac{\partial P}{\partial L} =1.5\cdot0.7\,L^{0.7-1}K^{0.3} =1.05\,L^{-0.3}K^{0.3}.

Passo 3

Agora avaliamos em L=100, K=50.
Calculando aproximado:
100^{-0.3}\approx0.2517, \quad 50^{0.3}\approx3.234
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P_L(100,50) =1.05\cdot0.2517\cdot3.234 \approx0.85.

Passo 4

A derivada parcial em relação a K é
\frac{\partial P}{\partial K} =1.5\cdot0.3\,L^{0.7}K^{0.3-1} =0.45\,L^{0.7}K^{-0.7}.

Passo 5

Avaliando em L=100, K=50:
100^{0.7}\approx25.12, \quad 50^{-0.7}\approx0.0649
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P_K(100,50) =0.45\cdot25.12\cdot0.0649 \approx0.73.

Passo 6

Para a variação L\to103 e K\to48, temos \Delta L=3, \Delta K=-2 e
\Delta P\approx P_L\,\Delta L + P_K\,\Delta K \approx0.85\cdot3 + 0.73\cdot(-2) \approx2.55 - 1.46 \approx1.09.

Resposta

(a) A produtividade marginal do trabalho em L=100, K=50 é aproximadamente 0.85.
(b) A variação aproximada da produção é \Delta P\approx1.09.

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